Calcule:
\frac{d f}{d t}(-1), onde f(x, y)=x^{2}+y^{2}, x=t^{3} e y=1+t^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d f}{d t}(-1), onde são dadas as funções
f(x,y)=x^{2}+y^{2},\quad x(t)=t^{3},\quad y(t)=1+t^{2}.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Função composta: } f\big(x(t),y(t)\big)=\big(x(t)\big)^{2}+\big(y(t)\big)^{2},\\\ &\text{Avaliar a derivada de } f \text{ em } t=-1. \end{aligned}çã

Passo 2

Conceito que vamos usar: como f depende de x e y, e x e y dependem de t, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula da regra da cadeia (caso de duas variáveis) é
\frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t)\big)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)\cdot\frac{dy}{dt}.
Explicando: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante), e \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t; análogo para a parte em y. A soma combina as contribuições de como x e y mudam quando t varia.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Derivando em relação a x (com y fixo):
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • Derivando em relação a y (com x fixo):
\frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Expliquei rápido: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x; y^{2} é constante quando diferenciamos em x, então somei nada.

Passo 4

Calculemos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\big(t^{3}\big)=3t^{2},
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(1+t^{2}\big)=2t.
Explicando: regra de potência — derivada de t^{n} é n t^{n-1}. A constante 1 tem derivada 0.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos as expressões que achamos:
\frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t)\big)=\big(2x\big)\cdot\big(3t^{2}\big)+\big(2y\big)\cdot\big(2t\big).
Lembrando que aqui x e y são funções de t; substituímos x=t^{3} e y=1+t^{2} para escrever tudo em termos de t:
\frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t)\big)=6x\,t^{2}+4y\,t=6t^{3}t^{2}+4(1+t^{2})t.
Simplificando as potências:
\frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t)\big)=6t^{5}+4t+4t^{3}.

Passo 6

Avalie a expressão em t=-1. Primeiro calcule as potências:
t=-1\Rightarrow t^{5}=-1,\quad t^{3}=-1,\quad t=-1.
Substituindo em 6t^{5}+4t+4t^{3}:
6(-1)+4(-1)+4(-1)=-6-4-4=-14.
Fiz as somas passo a passo: -6-4=-10 e -10-4=-14.

Passo 7

Conclusão: o valor da derivada de f em relação a t no ponto t=-1 é -14.

Resposta

-14

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