Calcule:
, onde
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde são dadas as funções
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Conceito que vamos usar: como
depende de
e
, e
e
dependem de
, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula da regra da cadeia (caso de duas variáveis) é
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante), e
é a derivada de
em relação a
; análogo para a parte em
. A soma combina as contribuições de como
e
mudam quando
varia.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais de
.
- Derivando em relação a
(com fixo):
- Derivando em relação a
(com fixo):
Expliquei rápido: a derivada de
em relação a
é
;
é constante quando diferenciamos em
, então somei nada.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
e
em relação a
:
Explicando: regra de potência — derivada de
é
. A constante
tem derivada
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia e substituímos as expressões que achamos:
Lembrando que aqui
e
são funções de
; substituímos
e
para escrever tudo em termos de
:
Simplificando as potências:
Passo 6
Avalie a expressão em
. Primeiro calcule as potências:
Substituindo em
:
Fiz as somas passo a passo:
e
.
Passo 7
Conclusão: o valor da derivada de
em relação a
no ponto
é
.