Questão
[2,0 pontos]: Considere o subespaço vetorial
de
sobre o corpo
dado por:
.
a) ( 1,0 ponto) Determine um conjunto gerador para
.
b) ( 0,5 ponto) Verifique se este conjunto gerador encontrado no item anterior é uma base.
c) ( 0,5 ponto) Qual é a dimensão do subespaço vetorial
? Justifique sua resposta.
a) ( 1,0 ponto) Determine um conjunto gerador para
b) ( 0,5 ponto) Verifique se este conjunto gerador encontrado no item anterior é uma base.
c) ( 0,5 ponto) Qual é a dimensão do subespaço vetorial
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
definido pelos dois equações lineares
As perguntas são:
a) Determinar um conjunto gerador para .
b) Verificar se esse conjunto gerador é uma base.
c) Determinar a dimensão de e justificar.
a) Determinar um conjunto gerador para
b) Verificar se esse conjunto gerador é uma base.
c) Determinar a dimensão de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As variáveis são
em . - Há exatamente duas equações lineares que relacionam essas quatro variáveis:
e .
Passo 2
Primeiro objetivo: escrever genericamente um vetor de
em função de parâmetros livres. Esse é o método padrão quando temos equações lineares que definem um subespaço: isolamos algumas variáveis em função de outras (as livres) e escrevemos o vetor como combinação linear de vetores geradores.
Das equações temos:
Agora substituímos
em
:
Escolhemos
e
como parâmetros livres. Para deixar explícito, defina
e
, onde
. Assim um vetor genérico de
é
Passo 3
Agora fatoramos em termos de
e
para ver a combinação linear:
Isso mostra diretamente que todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
Portanto um conjunto gerador para
é
Explicação didática curta: escolhemos
e
livres porque há
incógnitas e
equações independentes, então restam
graus de liberdade; cada grau de liberdade gera um vetor que aparece na combinação linear.
Passo 4
Agora verificamos se
é linearmente independente (condição necessária para ser base). Lembrando a definição: vetores são linearmente independentes se a única solução do sistema
é
.
Escrevendo coordenada a coordenada:
primeira coordenada: , ou
.
segunda coordenada: , ou
.
terceira coordenada: , ou
.
quarta coordenada: , ou
.
primeira coordenada:
segunda coordenada:
terceira coordenada:
quarta coordenada:
Da terceira coordenada obtemos imediatamente
. Substituindo em
dá
. Assim a única solução é
. Logo
e
são linearmente independentes.
Comentário didático: às vezes basta observar uma coordenada onde apenas um vetor tem entrada não nula (aqui a terceira coordenada separa
) para concluir independência rapidamente.
Passo 5
Como
gera
(Passo 3) e é linearmente independente (Passo 4), então é uma base de
.
Para a dimensão: a dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Como encontramos uma base com
vetores, temos
.
Outra justificativa alternativa (útil na prova):
é definido por duas equações lineares independentes em
; cada equação reduz um grau de liberdade, portanto a dimensão é
. Isso combina com o fato de termos dois parâmetros livres (
e
) ao parametrizar
.
Resposta
a)
b) Sim.
c)
b) Sim.
c)