Questão \mathbf{6} [2,0 pontos]: Considere o subespaço vetorial \boldsymbol{W} de \boldsymbol{R}^{\mathbf{4}} sobre o corpo \boldsymbol{R} dado por: \boldsymbol{W}=\left\{(x, y, z, t) \in \boldsymbol{R}^{\mathbf{4}}: x+y=0, y-2 z+t=0\right\}.
a) ( 1,0 ponto) Determine um conjunto gerador para \boldsymbol{W}.
b) ( 0,5 ponto) Verifique se este conjunto gerador encontrado no item anterior é uma base.
c) ( 0,5 ponto) Qual é a dimensão do subespaço vetorial \boldsymbol{W} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W\subset\mathbb{R}^{4} definido pelos dois equações lineares
x+y=0,
y-2z+t=0.
As perguntas são:
a) Determinar um conjunto gerador para W.
b) Verificar se esse conjunto gerador é uma base.
c) Determinar a dimensão de W e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As variáveis são (x,y,z,t) em \mathbb{R}^{4}.
  • Há exatamente duas equações lineares que relacionam essas quatro variáveis: x+y=0 e y-2z+t=0.

Passo 2

Primeiro objetivo: escrever genericamente um vetor de W em função de parâmetros livres. Esse é o método padrão quando temos equações lineares que definem um subespaço: isolamos algumas variáveis em função de outras (as livres) e escrevemos o vetor como combinação linear de vetores geradores.
Das equações temos:
x+y=0 \implies x=-y.
y-2z+t=0 \implies y=2z-t.
Agora substituímos y=2z-t em x=-y:
x=-y = -(2z-t) = -2z + t.
Escolhemos z e t como parâmetros livres. Para deixar explícito, defina z=s e t=u, onde s,u\in\mathbb{R}. Assim um vetor genérico de W é
(x,y,z,t)=(-2s+u,\;2s-u,\;s,\;u).

Passo 3

Agora fatoramos em termos de s e u para ver a combinação linear:
(-2s+u,\;2s-u,\;s,\;u) = s(-2,2,1,0) + u(1,-1,0,1).
Isso mostra diretamente que todo vetor de W pode ser escrito como combinação linear dos vetores
v_{1}=(-2,2,1,0),\qquad v_{2}=(1,-1,0,1).
Portanto um conjunto gerador para W é
\{\,v_{1},v_{2}\,\} = \{\,(-2,2,1,0),\;(1,-1,0,1)\,\}.
Explicação didática curta: escolhemos z e t livres porque há 4 incógnitas e 2 equações independentes, então restam 2 graus de liberdade; cada grau de liberdade gera um vetor que aparece na combinação linear.

Passo 4

Agora verificamos se \{v_{1},v_{2}\} é linearmente independente (condição necessária para ser base). Lembrando a definição: vetores são linearmente independentes se a única solução do sistema
a v_{1} + b v_{2} = 0
é a=b=0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
primeira coordenada: -2a + 1b = 0, ou -2a+b=0.
segunda coordenada: 2a - 1b = 0, ou 2a-b=0.
terceira coordenada: 1a + 0b = 0, ou a=0.
quarta coordenada: 0a + 1b = 0, ou b=0.
Da terceira coordenada obtemos imediatamente a=0. Substituindo em -2a+b=0 b=0. Assim a única solução é a=b=0. Logo v_{1} e v_{2} são linearmente independentes.
Comentário didático: às vezes basta observar uma coordenada onde apenas um vetor tem entrada não nula (aqui a terceira coordenada separa v_{1}) para concluir independência rapidamente.

Passo 5

Como \{v_{1},v_{2}\} gera W (Passo 3) e é linearmente independente (Passo 4), então é uma base de W.
Para a dimensão: a dimensão de um subespaço é o número de vetores em qualquer base. Como encontramos uma base com 2 vetores, temos \dim(W)=2.
Outra justificativa alternativa (útil na prova): W é definido por duas equações lineares independentes em \mathbb{R}^{4}; cada equação reduz um grau de liberdade, portanto a dimensão é 4-2=2. Isso combina com o fato de termos dois parâmetros livres ( s e u) ao parametrizar W.

Resposta

a) \{\,(-2,2,1,0),\;(1,-1,0,1)\,\}
b) Sim.
c) \dim(W)=2

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