Questão 5 [2,0 pontos]:
( 1,0 ponto) Encontre a equação vetorial da reta que é a intersecção dos planos 3 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}=15 e 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2 \mathrm{z}=5.

Passo 1

O enunciado dá duas equações de planos e pede a equação vetorial da reta que é a interseção desses planos. As informações fornecidas são:
3x-6y-2z=15
2x+y-2z=5
A pergunta: escrever a equação vetorial da reta que está na interseção desses dois planos (ou seja, a reta formada por todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações).

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que caracteriza a reta de interseção: ela é a reta que pertence a ambos os planos. Cada plano tem um vetor normal (um vetor perpendicular ao plano) dado pelos coeficientes de x,y,z. Vamos extrair esses vetores normais:
\text{Para o primeiro plano: } \mathbf{n}_1 = (3,-6,-2)
\text{Para o segundo plano: } \mathbf{n}_2 = (2,1,-2)
Esses vetores são importantes porque a direção da reta de interseção é perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2.

Passo 3

A direção da reta é dada pelo produto vetorial (cross product) \mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. O produto vetorial produz um vetor perpendicular a ambos os vetores dados, portanto alinha-se com a reta de interseção. Calculamos usando o determinante da matriz com as componentes:
\mathbf{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -6 & -2 \\\\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix}
Agora calculamos componente a componente:
d_x = (-6)(-2) - (-2)(1) = 12 - (-2) = 14
d_y = -\bigl(3(-2) - (-2)(2)\bigr) = -\bigl(-6 - (-4)\bigr) = -(-2) = 2
d_z = 3\cdot 1 - (-6)\cdot 2 = 3 - (-12) = 15
Portanto a direção da reta é
\mathbf{d} = (14,\,2,\,15).

Passo 4

Agora precisamos de um ponto qualquer que esteja na reta (ou seja, que satisfaça os dois planos). Uma forma simples é parametrizar uma variável e resolver o sistema. Vamos escolher z=t como parâmetro e resolver as duas equações para x e y em função de t.
As equações tornam-se:
3x-6y-2t=15
2x+y-2t=5
Da segunda equação isolamos y:
y = 5 + 2t - 2x.
Substituímos na primeira:
3x - 6(5+2t-2x) - 2t = 15.
Desenvolvendo:
3x - 30 - 12t + 12x - 2t = 15.
Somando termos semelhantes:
15x - 30 - 14t = 15.
Passando constantes para o outro lado:
15x = 15 + 30 + 14t = 45 + 14t.
Logo
x = 3 + \frac{14}{15}t.
Agora y:
y = 5 + 2t - 2x = 5 + 2t - 2\Bigl(3 + \frac{14}{15}t\Bigr)
y = 5 + 2t - 6 - \frac{28}{15}t = -1 + \frac{2}{15}t.
E lembrando z=t. Assim obtemos a parametrização
(x,y,z) = \Bigl(3 + \frac{14}{15}t,\; -1 + \frac{2}{15}t,\; t\Bigr).

Passo 5

Para ficar com coeficientes inteiros na direção, trocamos o parâmetro. Seja \lambda = \dfrac{t}{15}, então t=15\lambda. Substituindo:
x = 3 + 14\lambda,\qquad y = -1 + 2\lambda,\qquad z = 15\lambda.
Isso escreve o vetor posição como
\mathbf{r} = (3,-1,0) + \lambda(14,2,15),\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Opcionalmente podemos verificar que o ponto (3,-1,0) satisfaz ambos os planos: 3\cdot3-6(-1)-2\cdot0=9+6=15 e 2\cdot3+(-1)-2\cdot0=6-1=5, então está correto.

Resposta

\mathbf{r} = (3,-1,0) + \lambda(14,2,15),\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
\text{Equivalente: } x=3+14\lambda,\; y=-1+2\lambda,\; z=15\lambda.

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