Questão 5 [2,0 pontos]:
( 1,0 ponto) Encontre a equação vetorial da reta que é a intersecção dos planos 3 \mathrm{x}-6 \mathrm{y}-2 \mathrm{z}=15 e 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2 \mathrm{z}=5.
Passo 1
O enunciado dá duas equações de planos e pede a equação vetorial da reta que é a interseção desses planos. As informações fornecidas são:
3x-6y-2z=15
2x+y-2z=5
A pergunta: escrever a equação vetorial da reta que está na interseção desses dois planos (ou seja, a reta formada por todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações).
Passo 2
Primeiro precisamos entender o que caracteriza a reta de interseção: ela é a reta que pertence a ambos os planos. Cada plano tem um vetor normal (um vetor perpendicular ao plano) dado pelos coeficientes de x,y,z. Vamos extrair esses vetores normais:
\text{Para o primeiro plano: } \mathbf{n}_1 = (3,-6,-2)
\text{Para o segundo plano: } \mathbf{n}_2 = (2,1,-2)
Esses vetores são importantes porque a direção da reta de interseção é perpendicular a ambos \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2.
Passo 3
A direção da reta é dada pelo produto vetorial (cross product) \mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. O produto vetorial produz um vetor perpendicular a ambos os vetores dados, portanto alinha-se com a reta de interseção. Calculamos usando o determinante da matriz com as componentes:
Agora precisamos de um ponto qualquer que esteja na reta (ou seja, que satisfaça os dois planos). Uma forma simples é parametrizar uma variável e resolver o sistema. Vamos escolher z=t como parâmetro e resolver as duas equações para x e y em função de t.
Opcionalmente podemos verificar que o ponto (3,-1,0) satisfaz ambos os planos: 3\cdot3-6(-1)-2\cdot0=9+6=15 e 2\cdot3+(-1)-2\cdot0=6-1=5, então está correto.