Calcule sen 3 x em função de \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede para expressar \sin(3x) em função de \sin(x). Para isso, vamos usar a fórmula da soma de ângulos e as identidades de ângulo duplo.

Passo 2

Escrevemos
\sin(3x)=\sin(2x+x)
e aplicamos a fórmula da soma de ângulos:
\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x).

Passo 3

Substituímos as identidades de ângulo duplo:
\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x), \qquad \cos(2x)=1-2\sin^2(x).
Assim,
\sin(3x) =2\sin(x)\cos(x)\cos(x)+(1-2\sin^2(x))\sin(x).

Passo 4

Notando que \cos^2(x)=1-\sin^2(x), temos
\sin(3x) =2\sin(x)\bigl(1-\sin^2(x)\bigr)+\sin(x)-2\sin^3(x) =2\sin(x)-2\sin^3(x)+\sin(x)-2\sin^3(x) =3\sin(x)-4\sin^3(x).

Resposta

\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x).

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