Calcule
e
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as segundas derivadas parciais de
, ou seja:
-
, -
, -
, -
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Implicitamente, o domínio exige
(porque o logaritmo natural precisa de argumento positivo).
Nada mais foi dado; vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática):
- Se
, a derivada parcial de em relação a é dada pela regra da cadeia:
Isto vem da regra da cadeia:
, e para variável composta multiplica-se por
.
- Para obter segundas derivadas, diferenciamos novamente as primeiras derivadas parciais, sempre tratando a outra variável como constante ao tomar cada derivada parcial.
- Fórmula útil (obtida por derivar a expressão acima): para
,
onde
,
, etc. Vou usar uma forma direta (derivando as primeiras derivadas) porque aqui
é simples.
Passo 3
Identificar
e calcular as derivadas de
.
- Defino
(peguei isso da própria definição de ).
Agora as derivadas de:
Segundas derivadas de
:
Observação: essas derivadas são constantes porque
é uma função linear.
Passo 4
Calcular as primeiras derivadas parciais de
usando a regra da cadeia:
Explicação passo a passo: por exemplo para
, visto
, temos
. Como
e
, fica
.
Passo 5
Agora derivamos novamente para obter as segundas derivadas.
- Calcular
. Partimos de e derivamos em relação a (tratando como constante):
Aplicando a regra da cadeia (ou derivada de
): a derivada de
é
vezes a derivada do denominador sobre o quadrado do denominador. A derivada do denominador
em relação a
é
. Assim:
- Calcular
. Partimos de e derivamos em relação a :
A derivada do denominador
em relação a
é
. Portanto:
- Calcular
. Partimos de e derivamos em relação a :
A derivada é
vezes a derivada de
em relação a
, que é
. Assim:
- Calcular
. Partimos de e derivamos em relação a :
A derivada do denominador em relação a
é
, então:
Passo 6
Comentário sobre igualdade das mistas: aqui obtemos
ou seja, as derivadas mistas coincidem. Isso é esperado porque
é
(composta por uma função linear e o log, suave no domínio
), e o teorema de Clairaut garante a igualdade das derivadas mistas contínuas.