Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=\ln (x+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as segundas derivadas parciais de f(x,y)=\ln(x+2y), ou seja:
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y},
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x},
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\ln(x+2y).
  • Implicitamente, o domínio exige \,x+2y>0\, (porque o logaritmo natural precisa de argumento positivo).
    Nada mais foi dado; vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação didática):
  • Se f(x,y)=\ln(u(x,y)), a derivada parcial de f em relação a x é dada pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Isto vem da regra da cadeia: \dfrac{d}{du}\ln u = 1/u, e para variável composta multiplica-se por \partial u/\partial x.
  • Para obter segundas derivadas, diferenciamos novamente as primeiras derivadas parciais, sempre tratando a outra variável como constante ao tomar cada derivada parcial.
  • Fórmula útil (obtida por derivar a expressão acima): para f=\ln u,
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{u_{xx}}{u}-\frac{(u_x)^2}{u^2}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{u_{xy}}{u}-\frac{u_x u_y}{u^2},
onde u_x=\partial u/\partial x, u_{xy}=\partial^2 u/\partial x\partial y, etc. Vou usar uma forma direta (derivando as primeiras derivadas) porque aqui u é simples.

Passo 3

Identificar u(x,y) e calcular as derivadas de u.
  • Defino u(x,y)=x+2y (peguei isso da própria definição de f).
    Agora as derivadas de u:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x+2y)=1, \qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x+2y)=2.
Segundas derivadas de u:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_x)=\frac{\partial}{\partial x}(1)=0, \qquad u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(2)=0, \qquad u_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_x)=\frac{\partial}{\partial y}(1)=0.
Observação: essas derivadas são constantes porque u é uma função linear.

Passo 4

Calcular as primeiras derivadas parciais de f usando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{u_x}{u}=\frac{1}{x+2y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{u_y}{u}=\frac{2}{x+2y}.
Explicação passo a passo: por exemplo para \partial f/\partial x, visto f=\ln(u), temos \partial f/\partial x=(1/u)\cdot u_x. Como u_x=1 e u=x+2y, fica 1/(x+2y).

Passo 5

Agora derivamos novamente para obter as segundas derivadas.
  1. Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{x+2y} e derivamos em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x+2y}\right).
Aplicando a regra da cadeia (ou derivada de 1/u): a derivada de 1/(x+2y) é -1 vezes a derivada do denominador sobre o quadrado do denominador. A derivada do denominador x+2y em relação a x é 1. Assim:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-\frac{1}{(x+2y)^2}.
  1. Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{x+2y} e derivamos em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x+2y}\right).
A derivada do denominador x+2y em relação a y é 2. Portanto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=-\frac{2}{(x+2y)^2}.
  1. Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2}{x+2y} e derivamos em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{2}{x+2y}\right).
A derivada é 2 vezes a derivada de 1/(x+2y) em relação a x, que é -1/(x+2y)^2. Assim:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-\frac{2}{(x+2y)^2}.
  1. Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}. Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{2}{x+2y} e derivamos em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2}{x+2y}\right).
A derivada do denominador em relação a y é 2, então:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2\cdot\left(-\frac{2}{(x+2y)^2}\right)=-\frac{4}{(x+2y)^2}.

Passo 6

Comentário sobre igualdade das mistas: aqui obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-\frac{2}{(x+2y)^2},
ou seja, as derivadas mistas coincidem. Isso é esperado porque f é C^2 (composta por uma função linear e o log, suave no domínio x+2y>0), e o teorema de Clairaut garante a igualdade das derivadas mistas contínuas.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-\frac{1}{(x+2y)^2}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=-\frac{2}{(x+2y)^2}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-\frac{2}{(x+2y)^2}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-\frac{4}{(x+2y)^2}

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