Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=\operatorname{tg}(7 x-3 y)

Passo 1

O enunciado pede as segundas derivadas parciais
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\; \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y},\; \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} da função
f(x,y)=\tan(7x-3y).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é composta: f(x,y)=\tan(u) com u=7x-3y.
  • Precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as segundas parciais mistas e puras.

Passo 2

Revisão das ferramentas que vamos usar (explicação didática e simples).
  1. Regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,y)=g(u(x,y)) então
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=g'(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial y}.
Isto significa: derivar a função externa g em relação a u (como se u fosse a variável) e multiplicar pela derivada parcial de u em relação à variável que se está derivando.
  1. Derivada da tangente: para g(u)=\tan(u),
g'(u)=\operatorname{sec}^{2}(u),
onde \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}, portanto \operatorname{sec}^{2}(u)=\dfrac{1}{\cos^{2}(u)}.
  1. Derivada de \operatorname{sec}^{2}(u) (que aparecerá nas segundas derivadas): usando regra da cadeia e que \dfrac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u),
\frac{d}{du}\operatorname{sec}^{2}(u)=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u).
Quando aplicamos derivada parcial essa expressão é multiplicada pela derivada parcial de u (pela regra da cadeia).
  1. Para a função interna u(x,y)=7x-3y temos, tratando a outra variável como constante:
\frac{\partial u}{\partial x}=7, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-3.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia e o item (2).
Aplicando para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}=\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\cdot 7.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=7\operatorname{sec}^{2}(7x-3y).
Aplicando para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial y}=\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\cdot (-3).
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=-3\operatorname{sec}^{2}(7x-3y).

Passo 4

Preparar para as segundas derivadas: vamos derivar as expressões obtidas no Passo 3. Lembre-se que quando diferenciamos \operatorname{sec}^{2}(u) em relação a x ou y aparece o fator 2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u) multiplicado pela derivada parcial de u (item 3 do Passo 2). Escrevendo de forma geral:
\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sec}^{2}(u)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}^{2}(u)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=7\operatorname{sec}^{2}(u) com u=7x-3y. Derivando em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=7\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sec}^{2}(u)\big).
Usando a fórmula do passo anterior:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=7\cdot\big(2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}\big).
Sabendo que \dfrac{\partial u}{\partial x}=7, temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=7\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot 7.
Fazendo as multiplicações escalares:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=98\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=7\operatorname{sec}^{2}(u). Derivando em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=7\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}^{2}(u)\big).
Pela regra do Passo 4:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=7\cdot\big(2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial y}\big).
Como \dfrac{\partial u}{\partial y}=-3, obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=7\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot (-3).
Fazendo as multiplicações escalares:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=-42\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} e comentar sobre igualdade com \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=-3\operatorname{sec}^{2}(u). Derivando em relação a x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-3\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sec}^{2}(u)\big).
Usando o mesmo procedimento:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-3\cdot\big(2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}\big).
Com \dfrac{\partial u}{\partial x}=7 resulta
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-3\cdot 2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot 7.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-42\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y).
Observação: as derivadas mistas coincidem ( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}), pois a função é suficientemente suave (função composta de funções elementares contínuas).

Passo 8

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=-3\operatorname{sec}^{2}(u). Derivando em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-3\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big(\operatorname{sec}^{2}(u)\big).
Usando a fórmula do Passo 4 e \dfrac{\partial u}{\partial y}=-3:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-3\cdot\big(2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\cdot (-3)\big).
Fazendo as multiplicações escalares:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=18\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y).

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=98\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=-42\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-42\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=18\operatorname{sec}^{2}(7x-3y)\tan(7x-3y)

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