Calcule
e
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede as segundas derivadas parciais
e
da função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é composta:
com . - Precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as segundas parciais mistas e puras.
Passo 2
Revisão das ferramentas que vamos usar (explicação didática e simples).
- Regra da cadeia para derivadas parciais: se
então
Isto significa: derivar a função externa
em relação a
(como se
fosse a variável) e multiplicar pela derivada parcial de
em relação à variável que se está derivando.
- Derivada da tangente: para
,
onde
, portanto
.
- Derivada de
(que aparecerá nas segundas derivadas): usando regra da cadeia e que ,
Quando aplicamos derivada parcial essa expressão é multiplicada pela derivada parcial de
(pela regra da cadeia).
- Para a função interna
temos, tratando a outra variável como constante:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia e o item (2).
Aplicando para
:
Logo
Aplicando para
:
Logo
Passo 4
Preparar para as segundas derivadas: vamos derivar as expressões obtidas no Passo 3. Lembre-se que quando diferenciamos
em relação a
ou
aparece o fator
multiplicado pela derivada parcial de
(item 3 do Passo 2). Escrevendo de forma geral:
Passo 5
Calcular
.
Partimos de
com
. Derivando em relação a
:
Usando a fórmula do passo anterior:
Sabendo que
, temos
Fazendo as multiplicações escalares:
Passo 6
Calcular
.
Partimos de
. Derivando em relação a
:
Pela regra do Passo 4:
Como
, obtemos
Fazendo as multiplicações escalares:
Passo 7
Calcular
e comentar sobre igualdade com
.
Partimos de
. Derivando em relação a
:
Usando o mesmo procedimento:
Com
resulta
Portanto
Observação: as derivadas mistas coincidem (
), pois a função é suficientemente suave (função composta de funções elementares contínuas).
Passo 8
Calcular
.
Partimos de
. Derivando em relação a
:
Usando a fórmula do Passo 4 e
:
Fazendo as multiplicações escalares: