Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=\operatorname{sen}(3 x+8 y)

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: calcular as segundas derivadas parciais
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}
para a função dada
f(x,y)=\operatorname{sen}(3x+8y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é composta: tem uma função trigonométrica aplicada à expressão 3x+8y.
  • A variável interna que depende de x e y é u(x,y)=3x+8y.
    O objetivo agora é usar regras de derivação para funções compostas (regra da cadeia) para obter as derivadas parciais de primeira ordem e depois as de segunda ordem.

Passo 2

Lembrete da regra da cadeia para derivadas parciais (aula rápida): se
f(x,y)=g(u(x,y)),
então as derivadas parciais de primeira ordem são
f_x = g'(u)\,u_x,\qquad f_y = g'(u)\,u_y,
onde u_x e u_y são as derivadas parciais de u em relação a x e y. Aqui g(t)=\operatorname{sen}(t) e g'(t)=\cos(t) (a derivada do seno é o cosseno). Vou aplicar isso com u(x,y)=3x+8y. Primeiro calculo u_x e u_y:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(3x+8y)=3,\qquad u_y=\frac{\partial}{\partial y}(3x+8y)=8.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia:
f_x = g'(u)\,u_x = \cos(3x+8y)\cdot 3.
Escrevendo de forma clara:
f_x = 3\cos(3x+8y).
De modo análogo,
f_y = g'(u)\,u_y = \cos(3x+8y)\cdot 8,
ou seja
f_y = 8\cos(3x+8y).
(Relembre: aqui \cos(3x+8y) é a derivada do seno avaliada em u=3x+8y.)

Passo 4

Agora vamos obter as segundas derivadas a partir de f_x. Para \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} diferenciamos f_x em relação a x. Usamos novamente a regra da cadeia: a derivada de \cos(u) em relação a x é -\sin(u)\,u_x.
Começando com
f_x = 3\cos(3x+8y),
temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(3\cos(3x+8y)\big) = 3\cdot\big(-\sin(3x+8y)\big)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(3x+8y).
Sabendo \frac{\partial}{\partial x}(3x+8y)=3, obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 3\cdot(-\sin(3x+8y))\cdot 3 = -9\sin(3x+8y).

Passo 5

Ainda a partir de f_x, calculamos a mista \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} diferenciando f_x em relação a y. Partindo de
f_x = 3\cos(3x+8y),
temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(3\cos(3x+8y)\big) = 3\cdot\big(-\sin(3x+8y)\big)\cdot \frac{\partial}{\partial y}(3x+8y).
Como \frac{\partial}{\partial y}(3x+8y)=8, segue que
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = 3\cdot(-\sin(3x+8y))\cdot 8 = -24\sin(3x+8y).

Passo 6

Para verificar consistência e calcular \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} também podemos partir de f_y (é bom para treinar e confirmar igualdade das mistas).
Recordando
f_y = 8\cos(3x+8y),
então diferenciando em relação a x obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(8\cos(3x+8y)\big) = 8\cdot\big(-\sin(3x+8y)\big)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(3x+8y).
Como \frac{\partial}{\partial x}(3x+8y)=3, resulta
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = 8\cdot(-\sin(3x+8y))\cdot 3 = -24\sin(3x+8y).
Isso coincide com \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}, como esperado (teorema de Clairaut: para funções suficientemente suaves as mistas são iguais).

Passo 7

Finalmente, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} obtém-se diferenciando f_y em relação a y:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\big(8\cos(3x+8y)\big) = 8\cdot\big(-\sin(3x+8y)\big)\cdot \frac{\partial}{\partial y}(3x+8y).
Como \frac{\partial}{\partial y}(3x+8y)=8, temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 8\cdot(-\sin(3x+8y))\cdot 8 = -64\sin(3x+8y).

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -9\sin(3x+8y)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = -24\sin(3x+8y)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = -24\sin(3x+8y)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = -64\sin(3x+8y)

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