Calcule
e
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: calcular as segundas derivadas parciais
para a função dada
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é composta: tem uma função trigonométrica aplicada à expressão
. - A variável interna que depende de
e é .
O objetivo agora é usar regras de derivação para funções compostas (regra da cadeia) para obter as derivadas parciais de primeira ordem e depois as de segunda ordem.
Passo 2
Lembrete da regra da cadeia para derivadas parciais (aula rápida): se
então as derivadas parciais de primeira ordem são
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
. Aqui
e
(a derivada do seno é o cosseno). Vou aplicar isso com
. Primeiro calculo
e
:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia:
Escrevendo de forma clara:
De modo análogo,
ou seja
(Relembre: aqui
é a derivada do seno avaliada em
.)
Passo 4
Agora vamos obter as segundas derivadas a partir de
. Para
diferenciamos
em relação a
. Usamos novamente a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
.
Começando com
Começando com
temos
Sabendo
, obtemos
Passo 5
Ainda a partir de
, calculamos a mista
diferenciando
em relação a
. Partindo de
temos
Como
, segue que
Passo 6
Para verificar consistência e calcular
e
também podemos partir de
(é bom para treinar e confirmar igualdade das mistas).
Recordando
Recordando
então diferenciando em relação a
obtemos
Como
, resulta
Isso coincide com
, como esperado (teorema de Clairaut: para funções suficientemente suaves as mistas são iguais).
Passo 7
Finalmente,
obtém-se diferenciando
em relação a
:
Como
, temos