Calcule
e
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem
e
da função
Informações dadas:
- A função está explícita em termos de
e . - É preciso obter as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as derivadas de segunda ordem indicadas.
Passo 2
Conceito rápido e regras que usarei (mini-aula):
- Derivada parcial em relação a
: diferenciar em relação a tratando como constante. - Derivada parcial em relação a
: diferenciar em relação a tratando como constante. - Regras de diferenciação usadas:
- Regra do poder:
. - Constante fatorada: constante multiplicativa pode ser puxada para fora da derivada.
- Derivada de
em relação a é . - Se a função for do tipo
, ao derivar em trata-se como constante e ao derivar em trata-se como constante.
- Regra do poder:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivada parcial em relação a
:
Aplicando as regras:
Logo
Derivada parcial em relação a
:
Aqui
é constante em
, portanto sua derivada é
. Para o segundo termo,
é constante em relação a
, então
Logo
Passo 4
Calcular
(segunda derivada parcial em
).
Parto de
e derivo em relação a
, tratando
como constante:
Calculemos cada termo:
Portanto
Passo 5
Calcular
(derivar primeiro em
e depois em
).
Parto de
e derivo em relação a
:
Logo
Passo 6
Calcular
(derivar primeiro em
e depois em
) e verificar igualdade dos mistos.
Parto de
e derivo em relação a
:
Portanto
Observação: os dois mistos são iguais,
. Isso era de se esperar porque as funções polinomiais e trigonométricas envolvidas são contínuas, condição que garante a igualdade dos mistos (teorema de Clairaut).
Passo 7
Calcular
(segunda derivada parcial em
).
Parto de
e derivo em relação a
, tratando
como constante: