Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=7 x^{3}+4 y^{2} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\\ \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y},\\ \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} da função
f(x,y)=7x^{3}+4y^{2}\operatorname{sen}(x).
Informações dadas:
  • A função está explícita em termos de x e y.
  • É preciso obter as derivadas parciais de primeira ordem e, a partir delas, as derivadas de segunda ordem indicadas.

Passo 2

Conceito rápido e regras que usarei (mini-aula):
  • Derivada parcial em relação a x: diferenciar em relação a x tratando y como constante.
  • Derivada parcial em relação a y: diferenciar em relação a y tratando x como constante.
  • Regras de diferenciação usadas:
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
    • Constante fatorada: constante multiplicativa pode ser puxada para fora da derivada.
    • Derivada de \operatorname{sen}(x) em relação a x é \cos(x).
    • Se a função for do tipo g(y)\operatorname{sen}(x), ao derivar em x trata-se g(y) como constante e ao derivar em y trata-se \operatorname{sen}(x) como constante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(7x^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{2}\operatorname{sen}(x)\big).
Aplicando as regras:
\frac{\partial}{\partial x}\big(7x^{3}\big)=7\cdot 3x^{2}=21x^{2},
\frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{2}\operatorname{sen}(x)\big)=4y^{2}\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=4y^{2}\cos(x).
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=21x^{2}+4y^{2}\cos(x).
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(7x^{3}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{2}\operatorname{sen}(x)\big).
Aqui 7x^{3} é constante em y, portanto sua derivada é 0. Para o segundo termo, \operatorname{sen}(x) é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{2}\operatorname{sen}(x)\big)=\operatorname{sen}(x)\cdot\frac{d}{dy}(4y^{2})=\operatorname{sen}(x)\cdot 8y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=8y\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} (segunda derivada parcial em x).
Parto de \dfrac{\partial f}{\partial x}=21x^{2}+4y^{2}\cos(x) e derivo em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(21x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{2}\cos(x)\big).
Calculemos cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(21x^{2}\big)=21\cdot 2x=42x,
\frac{\partial}{\partial x}\big(4y^{2}\cos(x)\big)=4y^{2}\cdot\frac{d}{dx}\cos(x)=4y^{2}\cdot(-\operatorname{sen}(x))=-4y^{2}\operatorname{sen}(x).
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=42x-4y^{2}\operatorname{sen}(x).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (derivar primeiro em x e depois em y).
Parto de \dfrac{\partial f}{\partial x}=21x^{2}+4y^{2}\cos(x) e derivo em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\left(21x^{2}+4y^{2}\cos(x)\right) = \frac{\partial}{\partial y}\big(21x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{2}\cos(x)\big).
\frac{\partial}{\partial y}\big(21x^{2}\big)=0,
\frac{\partial}{\partial y}\big(4y^{2}\cos(x)\big)=\cos(x)\cdot\frac{d}{dy}(4y^{2})=\cos(x)\cdot 8y=8y\cos(x).
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=8y\cos(x).

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (derivar primeiro em y e depois em x) e verificar igualdade dos mistos.
Parto de \dfrac{\partial f}{\partial y}=8y\operatorname{sen}(x) e derivo em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\big(8y\operatorname{sen}(x)\big)=8y\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=8y\cos(x).
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=8y\cos(x).
Observação: os dois mistos são iguais, \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}. Isso era de se esperar porque as funções polinomiais e trigonométricas envolvidas são contínuas, condição que garante a igualdade dos mistos (teorema de Clairaut).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (segunda derivada parcial em y).
Parto de \dfrac{\partial f}{\partial y}=8y\operatorname{sen}(x) e derivo em relação a y, tratando x como constante:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\frac{\partial}{\partial y}\big(8y\operatorname{sen}(x)\big)=\operatorname{sen}(x)\cdot\frac{d}{dy}(8y)=\operatorname{sen}(x)\cdot 8=8\operatorname{sen}(x).

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=42x-4y^{2}\operatorname{sen}(x)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=8y\cos(x)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=8y\cos(x)
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=8\operatorname{sen}(x)

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