Calcule
e
para cada uma das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede que sejam calculadas as segundas derivadas parciais
e
.
As informações dadas explicitamente são os coeficientes dos termos: no termo
,
no termo
e
no termo misto
.
As informações dadas explicitamente são os coeficientes dos termos:
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática e simples).
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a taxa de variação de quando só varia e fica fixo. Ou seja, trata-se como uma constante. - Analogamente,
é a taxa de variação quando só varia e é tratado como constante. - Para calcular derivadas usamos regras usuais: derivada de
em relação a é (regra do poder) e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Quando um termo tem a outra variável multiplicando, por exemplo , se derivamos em relação a o é constante e o termo se comporta como , cuja derivada em é .
Passo 3
Calcular a derivada parcial primeira em relação a
.
- Derivando termo a termo tratando
como constante: -
. -
porque não depende de . -
(trata-se como constante o multiplicando ).
-
- Logo,
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial primeira em relação a
.
- Derivando termo a termo tratando
como constante: -
porque não depende de . -
. -
(trata-se como constante o multiplicando ).
-
- Logo,
.
Passo 5
Definição de segundas derivadas parciais e como calculá-las.
- A segunda derivada parcial em relação a
é . - A derivada mista
significa primeiro derivar em relação a e depois em relação a , ou seja . A outra mista é o contrário. - Para funções polinomiais (como a dada), todas essas derivadas existem e são contínuas, então as derivadas mistas são iguais (teorema de Clairaut), mas vamos calcular explicitamente para checar.
Passo 6
Calcular
.
- Partimos de
. - Derivando em
tratando como constante: -
. -
.
-
- Portanto,
.
Passo 7
Calcular
e
.
- Para
tomamos e derivamos em : -
. -
. - Logo
.
-
- Para
tomamos e derivamos em : -
. -
. - Logo
.
-
- Observação: as duas mistas deram o mesmo valor
, como esperado.
Passo 8
Calcular
.
- Partimos de
. - Derivando em
tratando como constante: -
. -
.
-
- Portanto,
.