Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} para cada uma das funções abaixo:
f(x, y)=5 x^{2}+3 y^{2}+7 x y

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y)=5x^{2}+3y^{2}+7xy e pede que sejam calculadas as segundas derivadas parciais
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\; \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y},\; \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
As informações dadas explicitamente são os coeficientes dos termos: 5 no termo x^{2}, 3 no termo y^{2} e 7 no termo misto xy.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática e simples).
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo. Ou seja, trata-se y como uma constante.
  • Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} é a taxa de variação quando só y varia e x é tratado como constante.
  • Para calcular derivadas usamos regras usuais: derivada de a x^{n} em relação a x é a n x^{n-1} (regra do poder) e a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Quando um termo tem a outra variável multiplicando, por exemplo 7xy, se derivamos em relação a x o y é constante e o termo se comporta como 7y\cdot x, cuja derivada em x é 7y.

Passo 3

Calcular a derivada parcial primeira em relação a x.
  • Derivando termo a termo tratando y como constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(5x^{2}\bigr)=5\cdot 2x=10x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3y^{2}\bigr)=0 porque 3y^{2} não depende de x.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(7xy\bigr)=7y (trata-se como constante o 7y multiplicando x).
  • Logo,
    \dfrac{\partial f}{\partial x}=10x+7y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial primeira em relação a y.
  • Derivando termo a termo tratando x como constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(5x^{2}\bigr)=0 porque 5x^{2} não depende de y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3y^{2}\bigr)=3\cdot 2y=6y.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(7xy\bigr)=7x (trata-se como constante o 7x multiplicando y).
  • Logo,
    \dfrac{\partial f}{\partial y}=6y+7x.

Passo 5

Definição de segundas derivadas parciais e como calculá-las.
  • A segunda derivada parcial em relação a x é \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right).
  • A derivada mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} significa primeiro derivar em relação a x e depois em relação a y, ou seja \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right). A outra mista \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} é o contrário.
  • Para funções polinomiais (como a dada), todas essas derivadas existem e são contínuas, então as derivadas mistas são iguais (teorema de Clairaut), mas vamos calcular explicitamente para checar.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
  • Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial x}=10x+7y.
  • Derivando em x tratando y como constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(10x)=10.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(7y)=0.
  • Portanto,
    \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=10.

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}.
  • Para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} tomamos \dfrac{\partial f}{\partial x}=10x+7y e derivamos em y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(10x)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(7y)=7.
    • Logo \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=7.
  • Para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} tomamos \dfrac{\partial f}{\partial y}=6y+7x e derivamos em x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(6y)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(7x)=7.
    • Logo \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=7.
  • Observação: as duas mistas deram o mesmo valor 7, como esperado.

Passo 8

Calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
  • Partimos de \dfrac{\partial f}{\partial y}=6y+7x.
  • Derivando em y tratando x como constante:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(6y)=6.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(7x)=0.
  • Portanto,
    \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6.

Resposta

\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=10
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=7
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=7
\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6

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