Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações:
y^{\prime \prime}+4 y=\tan t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
y''+4y=\tan t
e pede a solução geral y(t). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo forçante é \tan t, que não está definido quando \cos t=0, isto é, em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}.
  • Portanto a solução será buscada em intervalos onde \cos t\neq0 (por exemplo em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), etc.).
    O que o enunciado pede: encontrar a solução geral y(t) válida em cada intervalo onde \tan t está bem definida.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y''+4y=0.
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procura-se soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+4=0,
cujos raízes são r=\pm 2i. Para raízes complexas \pm \omega i a base de soluções reais é \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=2, logo uma base de soluções da homogênea é
y_1(t)=\cos(2t),\qquad y_2(t)=\sin(2t).
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolha do método para obter uma solução particular: o termo à direita é \tan t, que não é combinação de polinômios, exponenciais, senos ou cossenos simples; portanto o método dos coeficientes a determinar não é adequado. A técnica mais geral e conveniente aqui é o método da variação de parâmetros, que funciona para qualquer termo forçante suficientemente bem comportado (aqui, em intervalos onde \tan t é contínua).

Passo 4

Apresentando a fórmula de variação de parâmetros (resumo didático): para a segunda ordem linear
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)
com duas soluções fundamentais y_1,y_2 da homogênea, uma solução particular y_p pode ser escrita como
y_p=-y_1\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt + y_2\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt,
onde W é o wronskiano W=y_1 y_2'-y_1'y_2. No nosso caso p(t)=0, q(t)=4 e g(t)=\tan t. Vamos calcular W e as integrais explicitamente.

Passo 5

Calcular o wronskiano das soluções fundamentais:
y_1(t)=\cos(2t),\qquad y_2(t)=\sin(2t).
Derivadas:
y_1'(t)=-2\sin(2t),\qquad y_2'(t)=2\cos(2t).
Logo o wronskiano é
W(t)=\begin{vmatrix}\cos(2t) & \sin(2t)\\[4pt] -2\sin(2t) & 2\cos(2t)\end{vmatrix} = \cos(2t)\cdot 2\cos(2t)-\sin(2t)\cdot(-2\sin(2t))=2(\cos^2(2t)+\sin^2(2t))=2.
Importante: W=2 é constante e diferente de zero, o que garante que y_1,y_2 formam conjunto fundamental.]

Passo 6

Calcular as duas integrais que aparecem na fórmula de variação de parâmetros.
Primeira integral:
\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt=\int \frac{\sin(2t)\tan t}{2}\,dt.
Simplificando o integrando usando \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e \sin(2t)=2\sin t\cos t:
\frac{\sin(2t)\tan t}{2}=\frac{2\sin t\cos t\cdot \dfrac{\sin t}{\cos t}}{2}=\sin^2 t.
Logo
\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt=\int \sin^2 t\,dt.
Para integrar \sin^2 t usa-se a identidade de duplicação \sin^2 t=\dfrac{1-\cos(2t)}{2}. Então
\int \sin^2 t\,dt=\int \frac{1-\cos(2t)}{2}\,dt=\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t)+C_1.
Na construção de uma particular podemos escolher C_1=0 (constantes de integração serão absorvidas na solução homogênea). Assim tomamos
I_1(t)=\int \frac{y_2\,g}{W}\,dt=\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t).
Segunda integral:
\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt=\int \frac{\cos(2t)\tan t}{2}\,dt.
Escrevendo explicitamente \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} obtemos o integrando
\frac{\cos(2t)\tan t}{2}=\frac{\cos(2t)\sin t}{2\cos t}.
Para integrar use uma substituição simples: seja u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, portanto \sin t\,dt=-du. Também \cos(2t)=2\cos^2 t-1=2u^2-1. Assim
\int \frac{\cos(2t)\sin t}{2\cos t}\,dt=\frac{1}{2}\int \frac{(2u^2-1)}{u}(-du) = -\frac{1}{2}\int \left(2u-\frac{1}{u}\right)du.
Integrando:
-\frac{1}{2}\left(u^2-\ln|u|\right)+C_2=-\frac{1}{2}u^2+\frac{1}{2}\ln|u|+C_2.
Voltando a t com u=\cos t e escolhendo C_2=0 (absorvido na homogênea), obtemos
I_2(t)=\int \frac{y_1\,g}{W}\,dt=-\frac{1}{2}\cos^2 t+\frac{1}{2}\ln|\cos t|.

Passo 7

Montar a solução particular pela fórmula
y_p=-y_1 I_1 + y_2 I_2.
Substituindo y_1=\cos(2t), y_2=\sin(2t) e os I_1,I_2 calculados:
y_p=-\cos(2t)\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin(2t)\right) +\sin(2t)\left(-\frac{1}{2}\cos^2 t+\frac{1}{2}\ln|\cos t|\right).
Agora simplificamos os termos trigonométricos de forma cuidadosa. Primeiro expandindo:
y_p=-\frac{t}{2}\cos(2t)+\frac{1}{4}\sin(2t)\cos(2t) -\frac{1}{2}\sin(2t)\cos^2 t+\frac{1}{2}\sin(2t)\ln|\cos t|.
Combinar os dois termos três primeiros termos envolvendo produtos trigonométricos. Usando \cos(2t)=2\cos^2 t-1 nota-se que
\frac{1}{4}\sin(2t)\cos(2t)-\frac{1}{2}\sin(2t)\cos^2 t =\sin(2t)\!\left(\frac{1}{4}\cos(2t)-\frac{1}{2}\cos^2 t\right).
Substituindo \cos(2t)=2\cos^2 t-1 dentro do parêntese:
\frac{1}{4}(2\cos^2 t-1)-\frac{1}{2}\cos^2 t=\frac{1}{2}\cos^2 t-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\cos^2 t=-\frac{1}{4}.
Portanto esses dois termos juntos valem -\dfrac{1}{4}\sin(2t). Assim a expressão de y_p simplifica para
y_p=-\frac{t}{2}\cos(2t)-\frac{1}{4}\sin(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\ln|\cos t|.

Passo 8

Escrever a solução geral somando a homogênea e a particular. Lembrando que as constantes de integração das integrais foram descartadas porque já estão incluídas em y_h. Assim a solução geral é
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\frac{t}{2}\cos(2t)-\frac{1}{4}\sin(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\ln|\cos t|.
Pode-se agrupar termos semelhantes (por exemplo juntar o termo em \sin(2t)), mas a forma acima já é clara. Relembrando a restrição de domínio: esta solução é válida em qualquer intervalo onde \cos t\neq0 (isto é, evitando pontos t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).

Resposta

y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\frac{t}{2}\cos(2t)-\frac{1}{4}\sin(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\ln|\cos t|, \quad \text{válida para } \cos t\neq0.á

Exercícios relacionados