Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações: y^{\prime \prime}+4 y=\tan t
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária não homogênea de segunda ordem
y''+4y=\tan t
e pede a solução geral y(t). Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo forçante é \tan t, que não está definido quando \cos t=0, isto é, em t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi para k\in\mathbb{Z}.
Portanto a solução será buscada em intervalos onde \cos t\neq0 (por exemplo em (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}), etc.).
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral y(t) válida em cada intervalo onde \tan t está bem definida.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
y''+4y=0.
Explicando a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procura-se soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2+4=0,
cujos raízes são r=\pm 2i. Para raízes complexas \pm \omega i a base de soluções reais é \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=2, logo uma base de soluções da homogênea é
y_1(t)=\cos(2t),\qquad y_2(t)=\sin(2t).
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolha do método para obter uma solução particular: o termo à direita é \tan t, que não é combinação de polinômios, exponenciais, senos ou cossenos simples; portanto o método dos coeficientes a determinar não é adequado. A técnica mais geral e conveniente aqui é o método da variação de parâmetros, que funciona para qualquer termo forçante suficientemente bem comportado (aqui, em intervalos onde \tan t é contínua).
Passo 4
Apresentando a fórmula de variação de parâmetros (resumo didático): para a segunda ordem linear
y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)
com duas soluções fundamentais y_1,y_2 da homogênea, uma solução particular y_p pode ser escrita como
Escrever a solução geral somando a homogênea e a particular. Lembrando que as constantes de integração das integrais foram descartadas porque já estão incluídas em y_h. Assim a solução geral é
Pode-se agrupar termos semelhantes (por exemplo juntar o termo em \sin(2t)), mas a forma acima já é clara. Relembrando a restrição de domínio: esta solução é válida em qualquer intervalo onde \cos t\neq0 (isto é, evitando pontos t=\tfrac{\pi}{2}+k\pi).
Resposta
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)-\frac{t}{2}\cos(2t)-\frac{1}{4}\sin(2t)+\frac{1}{2}\sin(2t)\ln|\cos t|, \quad \text{válida para } \cos t\neq0.á