Seja f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=\cos x. Calcule:
g^{\prime}(60)

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede uma derivada:
  • Foi dado f(x)=\operatorname{sen} x.
  • Foi dado g(x)=\cos x.
  • A pergunta é: calcular g^{\prime}(60).
Informações relevantes: temos a expressão explícita de g(x) e precisamos da derivada de g avaliada em x=60. Não foi indicado se o 60 está em graus ( 60^\circ) ou em radianos; isso é importante porque a regra usual das derivadas trigonométricas presume medida em radianos. Vou explicar isso com calma nos próximos passos.

Passo 2

Definição de derivada (ideia que vamos usar): a derivada de uma função g em um ponto x é o limite
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Vou usar essa definição para obter a fórmula da derivada de \cos x de forma didática.

Passo 3

Calcular g'(x) com g(x)=\cos x usando a identidade trigonométrica de diferença:
\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\!\biggl(\frac{a+b}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\frac{a-b}{2}\biggr).
Aplicando com a=x+h e b=x obtemos
\cos(x+h)-\cos x = -2\sin\!\biggl(x+\frac{h}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\frac{h}{2}\biggr).
Dividindo por h e tomando limite,
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \lim_{h\to0}\left[-2\sin\!\biggl(x+\frac{h}{2}\biggr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}\right].
Reescrevendo a razão trigonométrica útil:
\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}=\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{\tfrac{h}{2}}\cdot\frac{1}{2}.
Usando o limite fundamental \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1, temos \displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}=1. Assim
\lim_{h\to0}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}=\frac{1}{2}.
Também \lim_{h\to0}\sin\!\bigl(x+\tfrac{h}{2}\bigr)=\sin x. Portanto o limite fica
g'(x) = -2\sin x \cdot \frac{1}{2} = -\sin x.
Concluímos de forma didática que a fórmula da derivada é
g'(x) = -\sin x.
Comentário amigo: essa fórmula vale sob a convenção padrão de que os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos — isso aparece nas justificativas do limite \lim_{t\to0}\sin t / t = 1. Se o argumento estiver em graus, há um fator extra (vou explicar a seguir).

Passo 4

Agora avaliar em x=60.
Caso padrão (convenção de cálculo): o 60 é um número real que representa 60 radianos (ou simplesmente estamos usando a fórmula que foi deduzida para argumentos em radianos). Então
g'(60) = -\sin(60).
Esse é o resultado exato na forma trigonométrica. Se quiser a aproximação decimal,
\sin(60)\approx -0{,}3048106\quad\text{(porque aqui o \(60\) é em radianos)},é
portanto
g'(60)\approx 0{,}3048106.
(Atenção: o sinal vem de -\sin(60).)

Passo 5

Caso o enunciado quisesse 60^\circ (ou seja, o argumento em graus): primeiro converter para radianos, pois as fórmulas de derivada exigem radianos. A conversão é
60^\circ = \frac{\pi}{3}\\ \text{radianos}.
Usando a fórmula g'(x)=-\sin x com x=\tfrac{\pi}{3} temos
g'(60^\circ) = -\sin\!\biggl(\frac{\pi}{3}\biggr).
Conhecendo os valores do círculo trigonométrico, \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\frac{\sqrt{3}}{2}. Logo
g'(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.
Explicação curta de onde vem \sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}: em um triângulo equilátero de lado 1 cortado ao meio obtém-se um triângulo retângulo com ângulos 30^\circ, 60^\circ, e hipotenusa 1; a altura vale \tfrac{\sqrt{3}}{2}, que é precisamente o seno de 60^\circ.

Resposta

-\sin(60) (se 60 for interpretado como radianos).
-\dfrac{\sqrt{3}}{2} (se a intenção for 60^\circ, i.e. 60 graus).

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