Seja
e
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede uma derivada:
- Foi dado
. - Foi dado
. - A pergunta é: calcular
.
Informações relevantes: temos a expressão explícita de
e precisamos da derivada de
avaliada em
. Não foi indicado se o
está em graus (
) ou em radianos; isso é importante porque a regra usual das derivadas trigonométricas presume medida em radianos. Vou explicar isso com calma nos próximos passos.
Passo 2
Definição de derivada (ideia que vamos usar): a derivada de uma função
em um ponto
é o limite
Vou usar essa definição para obter a fórmula da derivada de
de forma didática.
Passo 3
Calcular
com
usando a identidade trigonométrica de diferença:
Aplicando com
e
obtemos
Dividindo por
e tomando limite,
Reescrevendo a razão trigonométrica útil:
Usando o limite fundamental
, temos
. Assim
Também
. Portanto o limite fica
Concluímos de forma didática que a fórmula da derivada é
Comentário amigo: essa fórmula vale sob a convenção padrão de que os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos — isso aparece nas justificativas do limite
. Se o argumento estiver em graus, há um fator extra (vou explicar a seguir).
Passo 4
Agora avaliar em
.
Caso padrão (convenção de cálculo): o
é um número real que representa
radianos (ou simplesmente estamos usando a fórmula que foi deduzida para argumentos em radianos). Então
Esse é o resultado exato na forma trigonométrica. Se quiser a aproximação decimal,
portanto
(Atenção: o sinal vem de
.)
Passo 5
Caso o enunciado quisesse
(ou seja, o argumento em graus): primeiro converter para radianos, pois as fórmulas de derivada exigem radianos. A conversão é
Usando a fórmula
com
temos
Conhecendo os valores do círculo trigonométrico,
. Logo
Explicação curta de onde vem
: em um triângulo equilátero de lado
cortado ao meio obtém-se um triângulo retângulo com ângulos
,
, e hipotenusa
; a altura vale
, que é precisamente o seno de
.