Calcule
e
; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto (
)
a)
;
b)
;
c)
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede, para cada função vetorial dada, três coisas: (i) calcular
; (ii) calcular
; (iii) obter a reta tangente ao gráfico da função no ponto
.
As funções e os pontos dados são:
a) .
b) . (Note que
.)
c) .
As funções e os pontos dados são:
a)
b)
c)
Passo 2
Regras e estratégia (fórmula/método) — aula rápida e prática:
- Derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Se
, então e . - Para a reta tangente no ponto
usamos a parametrização
Isto significa: ponto base
e direção dada por
.
- Regras de derivação importantes que vamos usar:
- Regra do poder:
. - Regra da cadeia: se
e , então . - Derivadas básicas:
; ; ; .
- Regra do poder:
- Vou aplicar essas regras componente a componente, mostrando cada passo algébrico para você poder replicar na prova.
Passo 3
Parte (a) — calcular
.
Temos . Derivando cada componente:
Temos
- Primeira componente:
(regra do poder). - Segunda componente:
(regra da exponencial e da cadeia: ). - Terceira componente:
(regra do ln + cadeia).
Portanto
Passo 4
Parte (a) — calcular
.
Derivamos novamente cada componente de :
Derivamos novamente cada componente de
- Primeira:
. - Segunda:
(dupla aplicação: derivada de é , com o sinal externo fica ). - Terceira: derivar
. Faço pelo quociente ou simplifico com a fórmula:
Assim
Passo 5
Parte (a) — reta tangente em
.
Primeiro avalio e
:
Primeiro avalio
-
. -
.
A reta tangente (usando) é
Passo 6
Parte (b) — preparar para derivar
.
Vou usar a regra da cadeia: escrevo e
. Então
Vou usar a regra da cadeia: escrevo
Para
isto simplifica:
, então a derivada fica
. Observação: em
a derivada pode ser problemática; porém aqui precisamos apenas de
, onde essa expressão vale sem problema.
Passo 7
Parte (b) — calcular
.
A função é .
Derivando componente a componente:
A função é
Derivando componente a componente:
- Primeira: já concluímos
(válido para ; em vale ). - Segunda:
. - Terceira:
.
Logo
Passo 8
Parte (b) — calcular
.
Derivando componente a componente:
Derivando
- Primeira: derivada de
é . - Segunda:
. - Terceira:
.
Logo
Passo 9
Parte (b) — reta tangente em
.
Calculo e
:
Calculo
-
. -
.
A reta tangente é
Se quiser separar as componentes:
Passo 10
Parte (c) — calcular
.
Temos . Derivando:
Temos
- Primeira:
(regra da cadeia). - Segunda:
. - Terceira:
(derivada de é , com o sinal inicial negativo dá ).
Portanto
Passo 11
Parte (c) — calcular
.
Derivando componente a componente:
Derivando
- Primeira:
. - Segunda:
. - Terceira:
.
Assim
Passo 12
Parte (c) — reta tangente em
.
Primeiro avalio e
:
Primeiro avalio
- Calculo
em : . Como , . - Calculo
em : . . - Calculo
em : .
Portanto.
Agora: -
em : → componente . -
em : → componente . -
em : .
Logo.
A reta tangente é
Em componentes:
.
Resposta
(a)
reta tangente:
.
(b)
reta tangente:
.
(c)
reta tangente:
.