Sejam \vec{F}(t)=t \vec{i}+\vec{j}+e^{t} \vec{k} e \vec{G}(t)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}. Calcule:
a) \int_{0}^{1}[\vec{F}(t) \wedge \vec{G}(t)] d t\,
b) \int_{0}^{1}[\vec{F}(t) \bullet \vec{G}(t)] d t

Passo 1

O enunciado dá duas campos/curvas vetoriais dependendo de t e pede duas integrais no intervalo 0 a 1:
Dados:
\vec{F}(t)=t\,\vec{i}+\vec{j}+e^{t}\,\vec{k}
\vec{G}(t)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}
Perguntas:
a) Calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\bigl[\vec{F}(t)\wedge \vec{G}(t)\bigr]\,dt.
b) Calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\bigl[\vec{F}(t)\bullet \vec{G}(t)\bigr]\,dt.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto vetorial \vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t).
Lembrete (fórmula do produto vetorial): para \vec{A}=(A_1,A_2,A_3) e \vec{B}=(B_1,B_2,B_3),
\vec{A}\times\vec{B}=(A_2B_3-A_3B_2)\,\vec{i}+(A_3B_1-A_1B_3)\,\vec{j}+(A_1B_2-A_2B_1)\,\vec{k}.
Aqui eu usei \times mas o enunciado usa \wedge; são a mesma operação (produto vetorial).
Identificamos as componentes:
\vec{F}(t)=(t,\,1,\,e^{t}),\qquad \vec{G}(t)=(1,\,1,\,1).

Passo 3

Aplicando a fórmula componente a componente:
Primeira componente ( \vec{i}):
A_2B_3-A_3B_2 = 1\cdot 1 - e^{t}\cdot 1 = 1-e^{t}.
Segunda componente ( \vec{j}):
A_3B_1-A_1B_3 = e^{t}\cdot 1 - t\cdot 1 = e^{t}-t.
Terceira componente ( \vec{k}):
A_1B_2-A_2B_1 = t\cdot 1 - 1\cdot 1 = t-1.
Portanto
\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)=(1-e^{t})\,\vec{i}+(e^{t}-t)\,\vec{j}+(t-1)\,\vec{k}.

Passo 4

Agora integramos essa função vetorial componente a componente de 0 a 1. Lembrete: integrar um vetor significa integrar cada componente separadamente.
Integral da primeira componente:
\int_{0}^{1}(1-e^{t})\,dt=\Bigl[t-e^{t}\Bigr]_{0}^{1}=(1-e)-(0-1)=2-e.
Integral da segunda componente:
\int_{0}^{1}(e^{t}-t)\,dt=\Bigl[e^{t}-\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1}=(e-\tfrac{1}{2})-(1-0)=e-\tfrac{3}{2}.
Integral da terceira componente:
\int_{0}^{1}(t-1)\,dt=\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}-t\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.
Assim obtemos a integral vetorial:
\int_{0}^{1}\bigl[\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)\bigr]\,dt=(2-e)\,\vec{i}+\Bigl(e-\tfrac{3}{2}\Bigr)\,\vec{j}-\tfrac{1}{2}\,\vec{k}.

Passo 5

Agora partimos para o produto escalar \vec{F}(t)\bullet\vec{G}(t).
Lembrete (fórmula do produto escalar): para \vec{A}=(A_1,A_2,A_3) e \vec{B}=(B_1,B_2,B_3),
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3,
que é um número (scala r).
Com \vec{F}(t)=(t,1,e^{t}) e \vec{G}(t)=(1,1,1), temos
\vec{F}(t)\bullet\vec{G}(t)=t\cdot 1 + 1\cdot 1 + e^{t}\cdot 1 = t+1+e^{t}.

Passo 6

Integramos t+1+e^{t} de 0 a 1:
Antiderivada:
\int (t+1+e^{t})\,dt=\tfrac{t^{2}}{2}+t+e^{t}+C.
Avaliação:
\int_{0}^{1}(t+1+e^{t})\,dt=\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}+t+e^{t}\Bigr]_{0}^{1}=\Bigl(\tfrac{1}{2}+1+e\Bigr)-\Bigl(0+0+1\Bigr)=e+\tfrac{1}{2}.

Resposta

a) (2-e)\,\vec{i}+\Bigl(e-\tfrac{3}{2}\Bigr)\,\vec{j}-\tfrac{1}{2}\,\vec{k}
b) e+\tfrac{1}{2}

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