Calcule:
a)
,
b)
,
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de três integrais de funções vetoriais em termos de
. Especificamente as perguntas são:
a) Calcular .
b) Calcular .
c) Calcular .
a) Calcular
b) Calcular
c) Calcular
Informações relevantes dadas:
Observação: as integrais são integrais definidas com limites indicados. A resolução será feita componente a componente.
Passo 2
Princípio básico (fórmula que vamos usar) — linearidade da integral de função vetorial:
Explicação didática: integrar uma função vetorial é apenas integrar cada componente escalar separadamente. Cada integral escalar é uma integral definida usual.
Vou lembrar as antiderivadas que usaremos:
- Para potência:
. - Para exponencial:
. - Para seno com coeficiente:
, onde é constante. - Para
: . - Para constante:
.
Cada
é uma constante de integração que não entra em integral definida porque vamos avaliar nos limites.
Passo 3
Aplicamos a linearidade e integramos componente a componente:
Agora usamos as antiderivadas:
Avaliação nos limites
e
:
Portanto o resultado da parte a é
Passo 4
Escrevendo a integral por componentes:
Começo pela componente
:
Antiderivada de é
. Então
Antiderivada de
Como
é função par,
. Assim
Observação alternativa (mais rápida):
é função ímpar em
, e a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico
é zero.
Passo 5
Componente
: antiderivada de
é
. Assim
Sabemos que
e
. Então
Passo 6
Componente
: integrando a constante
,
Portanto o resultado da parte b é
que normalmente escrevemos como
Passo 7
A integranda é um vetor constante
. Integral de vetor constante em
é o vetor vezes o comprimento do intervalo:
Calculemos cada uma:
Logo o resultado da parte c é