Calcule:
a) \int_{0}^{1}\left[t \vec{i}+e^{t} \vec{j}\right] d t\,
b) \int_{-1}^{1}\left[\operatorname{sen} 3 t \vec{i}+\frac{1}{1+t^{2}} \vec{j}+\vec{k}\right] d t\,
c) \int_{1}^{2}[3 \vec{i}+2 \vec{j}+\vec{k}] d t

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de três integrais de funções vetoriais em termos de t. Especificamente as perguntas são:
a) Calcular \int_{0}^{1}\bigl[t\vec{i}+e^{t}\vec{j}\bigr]\,dt.
b) Calcular \int_{-1}^{1}\bigl[\operatorname{sen} 3t\\ \vec{i}+\dfrac{1}{1+t^{2}}\vec{j}+\vec{k}\bigr]\,dt.
c) Calcular \int_{1}^{2}\bigl[3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}\bigr]\,dt.
Informações relevantes dadas:
\text{a)}\\ \vec{F}(t)=t\vec{i}+e^{t}\vec{j},\quad t\in[0,1].
\text{b)}\\ \vec{G}(t)=\operatorname{sen} 3t\\ \vec{i}+\frac{1}{1+t^{2}}\vec{j}+\vec{k},\quad t\in[-1,1].
\text{c)}\\ \vec{H}(t)=3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k},\quad t\in[1,2].
Observação: as integrais são integrais definidas com limites indicados. A resolução será feita componente a componente.

Passo 2

Princípio básico (fórmula que vamos usar) — linearidade da integral de função vetorial:
\int_{a}^{b}\bigl[f_{1}(t)\vec{i}+f_{2}(t)\vec{j}+f_{3}(t)\vec{k}\bigr]\,dt = \left(\int_{a}^{b}f_{1}(t)\,dt\right)\vec{i}+\left(\int_{a}^{b}f_{2}(t)\,dt\right)\vec{j}+\left(\int_{a}^{b}f_{3}(t)\,dt\right)\vec{k}.
Explicação didática: integrar uma função vetorial é apenas integrar cada componente escalar separadamente. Cada integral escalar é uma integral definida usual.
Vou lembrar as antiderivadas que usaremos:
  • Para potência: \displaystyle\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}+C.
  • Para exponencial: \displaystyle\int e^{t}\,dt=e^{t}+C.
  • Para seno com coeficiente: \displaystyle\int \operatorname{sen} (at)\,dt=-\frac{1}{a}\cos(at)+C, onde a é constante.
  • Para \dfrac{1}{1+t^{2}}: \displaystyle\int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan t + C.
  • Para constante: \displaystyle\int c\,dt = c t + C.
Cada C é uma constante de integração que não entra em integral definida porque vamos avaliar nos limites.

Passo 3

Aplicamos a linearidade e integramos componente a componente:
\int_{0}^{1}\bigl[t\vec{i}+e^{t}\vec{j}\bigr]\,dt = \left(\int_{0}^{1} t\,dt\right)\vec{i}+\left(\int_{0}^{1} e^{t}\,dt\right)\vec{j}.
Agora usamos as antiderivadas:
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2},\qquad \int e^{t}\,dt=e^{t}.
Avaliação nos limites 0 e 1:
\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2},
\left[e^{t}\right]_{0}^{1}=e^{1}-e^{0}=e-1.
Portanto o resultado da parte a é
\frac{1}{2}\,\vec{i}+(e-1)\,\vec{j}.

Passo 4

Escrevendo a integral por componentes:
\int_{-1}^{1}\bigl[\operatorname{sen} 3t\\ \vec{i}+\frac{1}{1+t^{2}}\vec{j}+\vec{k}\bigr]\,dt = \left(\int_{-1}^{1}\operatorname{sen} 3t\,dt\right)\vec{i}+\left(\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt\right)\vec{j}+\left(\int_{-1}^{1}1\,dt\right)\vec{k}.
Começo pela componente \vec{i}:
Antiderivada de \operatorname{sen} 3t é -\dfrac{1}{3}\cos 3t. Então
\int_{-1}^{1}\operatorname{sen} 3t\,dt=\left[-\frac{1}{3}\cos 3t\right]_{-1}^{1} =-\frac{1}{3}\bigl(\cos 3 - \cos(-3)\bigr).
Como \cos é função par, \cos(-3)=\cos 3. Assim
-\frac{1}{3}\bigl(\cos 3 - \cos 3\bigr)=0.
Observação alternativa (mais rápida): \operatorname{sen} 3t é função ímpar em t, e a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [-a,a] é zero.

Passo 5

Componente \vec{j}: antiderivada de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan t. Assim
\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\left[\arctan t\right]_{-1}^{1}=\arctan(1)-\arctan(-1).
Sabemos que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}. Então
\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Componente \vec{k}: integrando a constante 1,
\int_{-1}^{1}1\,dt=\left[t\right]_{-1}^{1}=1-(-1)=2.
Portanto o resultado da parte b é
0\cdot\vec{i}+\frac{\pi}{2}\vec{j}+2\vec{k},
que normalmente escrevemos como
\frac{\pi}{2}\vec{j}+2\vec{k}.

Passo 7

A integranda é um vetor constante \vec{H}(t)=3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}. Integral de vetor constante em [1,2] é o vetor vezes o comprimento do intervalo:
\int_{1}^{2}\bigl[3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}\bigr]\,dt = \left(\int_{1}^{2}3\,dt\right)\vec{i}+\left(\int_{1}^{2}2\,dt\right)\vec{j}+\left(\int_{1}^{2}1\,dt\right)\vec{k}.
Calculemos cada uma:
\int_{1}^{2}3\,dt=3[t]_{1}^{2}=3(2-1)=3,
\int_{1}^{2}2\,dt=2[t]_{1}^{2}=2(2-1)=2,
\int_{1}^{2}1\,dt=[t]_{1}^{2}=2-1=1.
Logo o resultado da parte c é
3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}.

Resposta

\dfrac{1}{2}\vec{i}+(e-1)\vec{j}
\dfrac{\pi}{2}\vec{j}+2\vec{k}
3\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}

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