Calcule a fração de íons \mathbf{C u}^{\mathbf{2 +}} livre em uma solução contendo \mathbf{0 , 0 5 ~ m o l} / \mathbf{L} de amônia.
Dados para o complexo \left[\mathrm{Cu}\left(\mathrm{NH}_{3}\right)_{n}\right]^{2+} :
\log \beta_{1}=4,30 ; \log \beta_{2}=7,70 ; \log \beta_{3}=11,00 ; \log \beta_{4}=13,30.
\mathrm{R}: \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{Cu} 2+}=7,27 \times 10^{-9} ou 7,27 \times 10^{-7} \%

Passo 1

O enunciado pede a fração de íons \mathrm{Cu}^{2+} livres em uma solução onde a concentração total de amônia é \left[\mathrm{NH}_3\right]=0,05\\ \mathrm{M}.
Conteúdo: equilíbrio de complexação com constantes de formação cumulativas \beta_n. Vamos usar a expressão da fração da espécie não complexada
\alpha_0 em função de \beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4 e [\mathrm{NH}_3].

Passo 2

A fração de \mathrm{Cu}^{2+} livre (nenhum N H_{3} ligado) é dada por
\alpha_0 \;=\;\frac{1}{1+\beta_{1}[\mathrm{NH}_3]+\beta_{2}[\mathrm{NH}_3]^2+\beta_{3}[\mathrm{NH}_3]^3+\beta_{4}[\mathrm{NH}_3]^4}\,.

Passo 3

Primeiro, convertemos \log\beta_n em \beta_n e calculamos cada termo:
\beta_{1}=10^{4,30}\approx2,0\times10^{4} \beta_{2}=10^{7,70}\approx5,0\times10^{7} \beta_{3}=10^{11,00}=1,0\times10^{11} \beta_{4}=10^{13,30}\approx2,0\times10^{13}
Agora os produtos com [\mathrm{NH}_3]=0,05:
\beta_{1}[\mathrm{NH}_3]\approx2,0\times10^{4}\times0,05=1,0\times10^{3},
\beta_{2}[\mathrm{NH}_3]^2\approx5,0\times10^{7}\times(0,05)^2=1,25\times10^{5},
\beta_{3}[\mathrm{NH}_3]^3\approx1,0\times10^{11}\times(0,05)^3=1,25\times10^{7},
\beta_{4}[\mathrm{NH}_3]^4\approx2,0\times10^{13}\times(0,05)^4=1,25\times10^{8}.

Passo 4

Somamos todos os termos do denominador:
1 + 1,0\times10^{3} + 1,25\times10^{5} + 1,25\times10^{7} + 1,25\times10^{8} \approx1,375\times10^{8}.

Passo 5

Substituindo em \alpha_0:
\alpha_0 = \frac{1}{1,375\times10^{8}}\approx7,27\times10^{-9}.
Em porcentagem isso equivale a
\alpha_0\times100\%\approx7,27\times10^{-7}\%.

Resposta

A fração de \mathrm{Cu}^{2+} livre é \boxed{7,27\times10^{-9}}, ou seja cerca de 7,27\times10^{-7}\%.

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