1. Calcule as frequências em números de onda para uma transição \mathrm{v}=0 \rightarrow \mathrm{v}=1 para os osciladores citados no exercício anterior.

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule as frequências em números de onda para uma transição \mathrm{v}=0 \rightarrow \mathrm{v}=1 para os osciladores citados no exercício anterior.”
Informações dadas no enunciado atual: nenhuma — a questão remete a “os osciladores citados no exercício anterior”.
Observação importante: não foi fornecida a massa dos átomos (ou massas reduzia das moléculas) nem as constantes elásticas ( k) desses osciladores. Essas grandezas são essenciais para calcular as frequências. Portanto, com os dados que recebi aqui, não há como obter os valores numéricos pedidos. Vou, porém, explicar passo a passo como se calcula (para que você consiga aplicar ao conjunto de dados do exercício anterior) e mostrar um exemplo ilustrativo.

Passo 2

Conceito físico básico (aula rápida e sem enrolação). Para um oscilador harmônico quântico (modelo habitual para vibração molecular), os níveis de energia vibracional são
E_v = h\nu\left(v+\tfrac{1}{2}\right),
onde:
  • E_v é a energia do nível vibracional de índice v,
  • h é a constante de Planck,
  • \nu é a frequência vibracional (em \mathrm{s^{-1}}),
  • v\in\{0,1,2,\dots\} é o número quântico vibracional.
A transição \mathrm{v}=0\rightarrow\mathrm{v}=1 tem energia
\Delta E = E_1-E_0 = h\nu.
Em espectroscopia vibrațional, é comum expressar a posição da linha em número de onda (em \mathrm{cm^{-1}}), definido por \tilde{\nu}=\dfrac{\nu}{c}, onde c é a velocidade da luz. Assim, a posição em número de onda da transição fundamental é simplesmente
\tilde{\nu}=\dfrac{\nu}{c}.

Passo 3

Relação entre a constante elástica e a frequência. Para o oscilador harmônico clássico/quântico associado a uma molécula diatômica, a frequência vibracional \nu vem de
\nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{\mu}},
onde:
  • k é a constante elástica (constante de força) do vínculo (unidade SI: \mathrm{N\,m^{-1}}),
  • \mu é a massa reduzida da molécula (unidade SI: \mathrm{kg}), definida abaixo.
Combinando com \tilde{\nu}=\nu/c obtemos a fórmula prática:
\boxed{\displaystyle \tilde{\nu}=\dfrac{1}{2\pi c}\sqrt{\dfrac{k}{\mu}}}
Isso significa: para cada oscilador, se soubermos k e \mu, conseguimos \tilde{\nu} diretamente.

Passo 4

Como calcular a massa reduzida \mu. Para uma molécula diatômica com massas m_1 e m_2 (em kg),
\mu=\dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
Se as massas estiverem dadas em unidades atômicas de massa (u), usar a conversão
1\\ \mathrm{u}=1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Portanto, se o exercício anterior deu massas atômicas (por exemplo m_1=12\\ \mathrm{u}, m_2=16\\ \mathrm{u}), primeiro converter cada uma para kg e então aplicar a fórmula da \mu.

Passo 5

Unidades e dica prática para obter \tilde{\nu} em \mathrm{cm^{-1}}. Use c em \mathrm{cm\,s^{-1}} para que o resultado saia diretamente em \mathrm{cm^{-1}}. Um valor conveniente é
c = 2,99792458\times10^{10}\\ \mathrm{cm\,s^{-1}}.
Assim, com k em \mathrm{N\,m^{-1}} (que é \mathrm{kg\,s^{-2}}) e \mu em \mathrm{kg}, a fórmula
\tilde{\nu}=\dfrac{1}{2\pi c}\sqrt{\dfrac{k}{\mu}}
\tilde{\nu} em \mathrm{cm^{-1}}. Atenção às conversões: não misture metros e centímetros sem ajustar.

Passo 6

Passo a passo operacional (o que fazer para cada oscilador do exercício anterior):
  1. Pegar as massas m_1 e m_2 fornecidas (se forem em u, converter para kg usando 1\\ \mathrm{u}=1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}).
  2. Calcular a massa reduzida:
\mu=\dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
  1. Pegar a constante elástica k (em \mathrm{N\,m^{-1}}).
  2. Calcular \sqrt{k/\mu}.
  3. Calcular
\tilde{\nu}=\dfrac{1}{2\pi c}\sqrt{\dfrac{k}{\mu}},
usando c=2,99792458\times10^{10}\\ \mathrm{cm\,s^{-1}}. O resultado é a frequência da transição \mathrm{v}=0\rightarrow\mathrm{v}=1 em \mathrm{cm^{-1}}.

Passo 7

Exemplo ilustrativo (apenas para ver as contas; não é o resultado do seu exercício porque eu não recebi os dados reais). Suponha hipoteticamente m_1=m_2=1{,}000\\ \mathrm{u} (apenas para simplificar) e k=500\\ \mathrm{N\,m^{-1}}.
  1. Converter massa atômica:
m_1=m_2=1{,}000\times1{,}66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}=1{,}66053906660\times10^{-24}\\ \mathrm{kg}.
  1. Massa reduzida:
\mu=\dfrac{m_1 m_2}{m_1+m_2}=\dfrac{(1{,}6605\times10^{-24})^2}{2(1{,}6605\times10^{-24})}=0{,}5\times1{,}6605\times10^{-24}=8{,}302695\times10^{-25}\\ \mathrm{kg}.
  1. Calcular \sqrt{k/\mu}=\sqrt{\dfrac{500}{8{,}302695\times10^{-25}}} (aqui daria um número grande em \mathrm{s^{-1}}).
  2. Finalmente,
\tilde{\nu}=\dfrac{1}{2\pi(2{,}99792458\times10^{10})}\sqrt{\dfrac{500}{8{,}302695\times10^{-25}}}\\ \mathrm{cm^{-1}}.
Esse exemplo mostra o tipo de conta e as ordens de grandeza envolvidas; ao aplicar com os números corretos do seu exercício você obterá os \mathrm{cm^{-1}} pedidos.

Passo 8

Observações finais e incentivo. Sei que está em cima da prova e que essas conversões e raiz podem parecer chatas — mas o procedimento é sempre o mesmo: obter \mu, conhecer k, aplicar \tilde{\nu}=(2\pi c)^{-1}\sqrt{k/\mu}. Se você me mandar os valores de m_1, m_2 (ou diretamente \mu) e k dos osciladores do exercício anterior, eu faço as contas detalhadas passo a passo e checo cada conversão contigo. Força — você já está no caminho certo pedindo exercícios resolvidos passo a passo!

Resposta

Não é possível calcular as frequências pedidas porque faltam os dados dos osciladores (massas e/ou constantes elásticas k) mencionados no exercício anterior.

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