1. Considerando as moléculas DCl e HCl , naturalmente as duas apresentam a mesma constante de força, 4.810^{2} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}. O que é possível dizer sobre suas frequências fundamentais?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação:
  • As moléculas \mathrm{HCl} e \mathrm{DCl} têm a mesma constante de força k = 4{,}8\times10^{2}\\ \mathrm{N\,m^{-1}}.
    A pergunta é: o que pode ser dito sobre as suas frequências fundamentais (ou seja, as frequências vibracionais fundamentais)?

Passo 2

Modelo físico que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma molécula diatômica aproximada por um oscilador harmônico, a frequência fundamental (frequência da oscilação vibracional) é dada por
\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \nu é a frequência (em hertz, \mathrm{s^{-1}}).
  • k é a constante de força da ligação (em \mathrm{N\,m^{-1}}); mede “rigidez” da mola que modela a ligação química.
  • \mu é a massa reduzida da molécula (em kg); ela combina as massas dos dois átomos de forma que o problema de duas massas acopladas vire um problema equivalente de uma massa única.
Essa fórmula mostra a ideia física central: para o mesmo k, a frequência depende só de \mu e varia como \nu\propto 1/\sqrt{\mu}. Ou seja, quanto maior a massa reduzida, menor a frequência.

Passo 3

Definição e cálculo da massa reduzida (aula curta):
  • A massa reduzida \mu de dois corpos de massas m_1 e m_2 é
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
  • Para \mathrm{HCl} e \mathrm{DCl} m_1 será a massa do hidrogênio (ou deutério) e m_2 a massa do cloro.
  • Usar unidades práticas: uma unidade atômica (unidade de massa atômica) 1\\ \mathrm{u}=1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Vamos tomar massas atômicas aproximadas (valores típicos usados em exercícios):
m_{\mathrm{H}}=1{,}00784\\ \mathrm{u},\qquad m_{\mathrm{D}}=2{,}01410\\ \mathrm{u},\qquad m_{\mathrm{Cl}}=35{,}453\\ \mathrm{u}.
Convertemos para kg: cada massa é multiplicada por 1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Cálculo numérico das massas em kg (passo a passo):
  • Para \mathrm{H}:
m_{\mathrm{H}}=1{,}00784\times1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}=1{,}673532\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Para \mathrm{D}:
m_{\mathrm{D}}=2{,}01410\times1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}=3{,}343583\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Para \mathrm{Cl}:
m_{\mathrm{Cl}}=35{,}453\times1{,}660539\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}=5{,}887109\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo das massas reduzidas (detalhado):
  • Para \mathrm{HCl}:
\mu_{\mathrm{HCl}}=\frac{m_{\mathrm{H}}\,m_{\mathrm{Cl}}}{m_{\mathrm{H}}+m_{\mathrm{Cl}}} =\frac{(1{,}673532\times10^{-27})(5{,}887109\times10^{-26})}{1{,}673532\times10^{-27}+5{,}887109\times10^{-26}}.
Calculemos numericamente:
\mu_{\mathrm{HCl}}\approx1{,}6268\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Para \mathrm{DCl}:
\mu_{\mathrm{DCl}}=\frac{m_{\mathrm{D}}\,m_{\mathrm{Cl}}}{m_{\mathrm{D}}+m_{\mathrm{Cl}}} =\frac{(3{,}343583\times10^{-27})(5{,}887109\times10^{-26})}{3{,}343583\times10^{-27}+5{,}887109\times10^{-26}}.
Calculemos numericamente:
\mu_{\mathrm{DCl}}\approx3{,}1655\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Observação intuitiva: a massa reduzida de \mathrm{DCl} é aproximadamente o dobro da de \mathrm{HCl} porque o deutério tem o dobro da massa do hidrogênio.

Passo 6

Cálculo das frequências usando a fórmula (passo a passo com k):
  • Relembrando k=4{,}8\times10^{2}\\ \mathrm{N\,m^{-1}}.
  • Para \mathrm{HCl}:
\nu_{\mathrm{HCl}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu_{\mathrm{HCl}}}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4{,}8\times10^{2}}{1{,}6268\times10^{-27}}} \approx8{,}64\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.
  • Para \mathrm{DCl}:
\nu_{\mathrm{DCl}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{\mu_{\mathrm{DCl}}}} =\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4{,}8\times10^{2}}{3{,}1655\times10^{-27}}} \approx6{,}20\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 7

Comparação e interpretação (aula curta e motivadora):
  • A razão entre as frequências pode ser obtida direto pela relação com massas reduzidas:
\frac{\nu_{\mathrm{DCl}}}{\nu_{\mathrm{HCl}}}=\sqrt{\frac{\mu_{\mathrm{HCl}}}{\mu_{\mathrm{DCl}}}}\approx0{,}717.
  • Conclusão qualitativa e física: como \mathrm{D} é mais pesado que \mathrm{H}, a massa reduzida aumenta, e isso reduz a frequência vibracional. Logo, \mathrm{DCl} vibra mais lentamente (menor frequência) que \mathrm{HCl}. Isso é exatamente o que se observa nos espectros vibracionais (deslocamento isotópico).
Força final de ânimo: é comum ficar tenso com esses detalhes numéricos, mas a ideia-chave é simples e muito útil na prova: para mesma rigidez k, massa maior → frequência menor; use sempre \nu=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/\mu} e calcule a massa reduzida.

Resposta

\nu_{\mathrm{HCl}}\approx8{,}64\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}
\nu_{\mathrm{DCl}}\approx6{,}20\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}
Portanto, a frequência fundamental de \mathrm{DCl} é menor que a de \mathrm{HCl}; a razão \nu_{\mathrm{DCl}}/\nu_{\mathrm{HCl}}\approx0{,}717.

Exercícios relacionados