Considerando a energia de um oscilador harmônico 3D como:
\mathrm{E}_{\mathrm{v} 1, \mathrm{v} 2, \mathrm{v} 3}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{3}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{i}}+\frac{1}{2}\right) \mathrm{h} v_{0_{\mathrm{i}}}
Responda:
a. Explique como essa expressão pode ser obtida.
b. Comparando a expressão dada com a obtida para uma partícula na caixa em 3 dimensões, discuta a degenerescência do oscilador 3D. A degenerescência dos dois sistemas é a mesma?

Passo 1

O enunciado dá a expressão da energia de um oscilador harmônico tridimensional:
\mathrm{E}_{\mathrm{v}1,\mathrm{v}2,\mathrm{v}3}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{3}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{i}}+\frac{1}{2}\right)\mathrm{h}\,v_{0_{\mathrm{i}}}
e pede duas coisas:
a. Explicar como essa expressão pode ser obtida (ou seja, justificar e derivar a forma acima).
b. Comparar essa expressão com a energia de uma partícula na caixa em 3D e discutir a degenerescência do oscilador 3D: se a degenerescência dos dois sistemas é a mesma ou não.
Informações relevantes fornecidas:
  • A energia está escrita como soma sobre três índices \mathrm{i}=1,2,3.
  • Cada termo tem a forma \left(\mathrm{v}_{\mathrm{i}}+\tfrac{1}{2}\right)\mathrm{h}\,v_{0_{\mathrm{i}}}, indicando um termo associado a cada direção.
  • Os símbolos \mathrm{v}_{\mathrm{i}} são números quânticos (não negativos inteiros) e v_{0_{\mathrm{i}}} são frequências associadas a cada direção.

Passo 2

Começamos pelo Hamiltoniano clássico/quântico do oscilador harmônico 3D em coordenadas cartesianas e mostramos por que a energia se separa em três contribuições 1D.
O Hamiltoniano quântico (energia total) de uma partícula sujeita a potenciais harmônicos independentes em x,y,z é
\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{3}\left(\frac{\hat{p}_{\mathrm{i}}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_{\mathrm{i}}^{2}\hat{x}_{\mathrm{i}}^{2}\right),
onde:
  • \hat{p}_{\mathrm{i}} é o operador momento na direção \mathrm{i},
  • \hat{x}_{\mathrm{i}} é o operador posição,
  • m é a massa da partícula,
  • \omega_{\mathrm{i}}=2\pi v_{0_{\mathrm{i}}} é a frequência angular na direção \mathrm{i}.
Observação didática: cada termo dentro da soma depende apenas da coordenada e do momento daquela direção. Isso indica que o problema é separável em x, y e z.

Passo 3

Explicando separação de variáveis e consequência para autovalores de energia.
Como \hat{H} é soma de três operadores que atuam em subespaços independentes,
\hat{H}=\hat{H}_1+\hat{H}_2+\hat{H}_3, \qquad \hat{H}_{\mathrm{i}}=\frac{\hat{p}_{\mathrm{i}}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_{\mathrm{i}}^{2}\hat{x}_{\mathrm{i}}^{2}.
Em mecânica quântica, se \hat{H}=\hat{A}+\hat{B} com \hat{A} atuando só em variáveis independentes de \hat{B}, os autovalores do somatório são soma dos autovalores individuais. Logo, um autovetor produto \psi(x,y,z)=\psi_1(x)\psi_2(y)\psi_3(z) satisfaz
\hat{H}\psi=(E_1+E_2+E_3)\psi,
onde E_{\mathrm{i}} é um autovalor de \hat{H}_{\mathrm{i}}.
Portanto, basta resolver o problema unidimensional do oscilador harmônico para cada direção.

Passo 4

Resolver o oscilador harmônico 1D e escrever os autovalores.
Para o oscilador 1D clássico/quântico, o resultado padrão (que pode ser obtido resolvendo a equação de Schrödinger 1D com potencial V(x)=\tfrac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} ou usando operadores escada) é que os autovalores de energia são
E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,
onde:
  • n\in\{0,1,2,\dots\} é o número quântico da direção considerada,
  • \hbar=\dfrac{h}{2\pi},
  • \omega é a frequência angular do oscilador 1D.
Explicando a fórmula de forma didática: o termo n conta quantas “quanta” de energia foram excitados; o termo \tfrac{1}{2}\hbar\omega é a energia de ponto zero (zero-point energy), que existe mesmo no estado fundamental n=0 por causa das flutuações quânticas do momento e da posição.

Passo 5

Combinar as soluções 1D para obter a expressão 3D.
Pelo raciocínio de separação, o autovalor total da energia para a tripla de números quânticos (\mathrm{v}_1,\mathrm{v}_2,\mathrm{v}_3) é a soma das energias 1D:
\mathrm{E}_{\mathrm{v}1,\mathrm{v}2,\mathrm{v}3} =E_{\mathrm{v}_1}^{(1)}+E_{\mathrm{v}_2}^{(2)}+E_{\mathrm{v}_3}^{(3)} =\sum_{\mathrm{i}=1}^{3}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{i}}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_{\mathrm{i}}.
Voltando da notação com \hbar\omega_{\mathrm{i}} para a frequência linear v_{0_{\mathrm{i}}} (sabendo que \omega_{\mathrm{i}}=2\pi v_{0_{\mathrm{i}}} e \hbar\omega_{\mathrm{i}}=h v_{0_{\mathrm{i}}}), obtemos exatamente
\mathrm{E}_{\mathrm{v}1,\mathrm{v}2,\mathrm{v}3} =\sum_{\mathrm{i}=1}^{3}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{i}}+\frac{1}{2}\right)\mathrm{h}\,v_{0_{\mathrm{i}}}.
Aqui \mathrm{v}_{\mathrm{i}} são inteiros não negativos e representam o número de quanta excitados na direção \mathrm{i}; o fator \tfrac{1}{2}\mathrm{h}v_{0_{\mathrm{i}}} é o termo de energia de ponto zero naquela direção.
Resumo do que fizemos: escrevemos o Hamiltoniano 3D como soma de três Hamiltonianos 1D independentes, usamos o resultado padrão do oscilador 1D para cada um e somamos as energias.

Passo 6

Definição e entendimento de degenerescência.
Degenerescência: dizemos que um nível de energia E é degenerado se existem dois (ou mais) autovetores linearmente independentes que têm o mesmo autovalor E. O grau de degenerescência (ou multiplicidade) g é o número de estados ortonormais independentes com a mesma energia.
Intuitivamente: degenerescência ocorre quando diferentes combinações dos números quânticos resultam na mesma soma que determina a energia.

Passo 7

Degenerescência do oscilador 3D anisotrópico versus isotrópico.
  • Caso anisotrópico (cada direção tem frequência diferente): \omega_1\neq\omega_2\neq\omega_3. Então, em geral, a soma
E=\sum_{\mathrm{i}=1}^3\left(v_{\mathrm{i}}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega_{\mathrm{i}}
é única para cada tripla (v_1,v_2,v_3). Não há degenerescência (além de casos especiais quando frequências têm razões racionais que podem ocasionar coincidências), porque trocar quanta entre direções muda a energia por causa das diferentes \omega_{\mathrm{i}}.
  • Caso isotrópico (frequências iguais): \omega_1=\omega_2=\omega_3=\omega. Então
E=\left(v_1+v_2+v_3+\tfrac{3}{2}\right)\hbar\omega.
A energia depende apenas da soma total de quanta
N\equiv v_1+v_2+v_3.
Portanto todos os estados com o mesmo N têm a mesma energia: há degenerescência. Essa degenerescência é consequência de simetria rotacional maior do potencial isotrópico.

Passo 8

Cálculo explícito da degenerescência do oscilador isotrópico.
Para um nível com soma total N, queremos contar o número de soluções em inteiros não negativos (v_1,v_2,v_3) tais que
v_1+v_2+v_3=N.
Essa é uma contagem clássica de “partições com ordem” (uso do princípio “stars and bars”): o número de soluções não-negativas em 3 variáveis é
g_{\text{osc}}(N)=\binom{N+3-1}{3-1}=\binom{N+2}{2}=\frac{(N+1)(N+2)}{2}.
Exemplos numéricos:
  • N=0\Rightarrow g=1 (apenas (0,0,0)).
  • N=1\Rightarrow g=3 (as três possibilidades (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)).
  • N=2\Rightarrow g=6 (combinações (2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)).
    Essa sequência cresce quadraticamente com N.

Passo 9

Energia e degenerescência da partícula na caixa 3D (caixa cúbica para comparação justa).
Para uma partícula na caixa cúbica de lado L, com condições de contorno de parede infinita, os autovalores são
E_{n_x n_y n_z}=\frac{h^{2}}{8mL^{2}}\left(n_x^{2}+n_y^{2}+n_z^{2}\right),
onde n_x,n_y,n_z\in\{1,2,3,\dots\}. Observações:
  • A energia depende das somas dos quadrados dos números quânticos, não da soma linear.
  • Degenerescência surge quando diferentes triplas (n_x,n_y,n_z) têm o mesmo valor de n_x^{2}+n_y^{2}+n_z^{2}. Isso inclui permutações (por exemplo (1,1,2) tem três permutações) e também coincidências não triviais onde combinações diferentes dão o mesmo somatório de quadrados (fenômeno aritmético).

Passo 10

Comparação direta das degenerescências e conclusão.
  • Para o oscilador isotrópico a degenerescência é sistemática e dada por
g_{\text{osc}}(N)=\frac{(N+1)(N+2)}{2}.
É uma fórmula fechada, cresce aproximadamente como \tfrac{1}{2}N^{2} para grandes N, fruto da dependência da energia apenas de N=v_1+v_2+v_3.
  • Para a partícula na caixa cúbica, não existe uma fórmula simples como a acima. A degenerescência depende de soluções inteiras da equação
n_x^{2}+n_y^{2}+n_z^{2}=M
para cada inteiro M. Algumas degenerescências vêm de permutações de componentes idênticas (por exemplo, todas as permutações de (1,1,2) dão degenerescência 3), mas há também coincidências mais complicadas (por exemplo, dois conjuntos diferentes de inteiros não relacionados por permutação podem ter a mesma soma de quadrados). Portanto a degenerescência é irregular e não segue o mesmo padrão do oscilador.
  • Consequência física e simetria: o oscilador isotrópico tem maior simetria (rotacional e simetrias adicionais no operador harmônico) que garante degenerescências grandes e regulares. A caixa cúbica tem menos simetria contínua (apenas as simetrias discretas do cubo), daí degenerescências diferentes e geralmente menores/irregulares.
Resposta curta e intuitiva: não, as degenerescências dos dois sistemas não são as mesmas. O oscilador isotrópico tem degenerescência crescente e regular dada por \dfrac{(N+1)(N+2)}{2}, enquanto a partícula na caixa tem degenerescência que depende da aritmética de somas de três quadrados e não segue essa fórmula.

Resposta

(a) A expressão resulta de escrever o Hamiltoniano 3D como soma de três Hamiltonianos 1D independentes, resolver cada oscilador 1D cujo autovalor é E_{n}=\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\hbar\omega e somar as energias, obtendo \displaystyle \mathrm{E}_{\mathrm{v}1,\mathrm{v}2,\mathrm{v}3}=\sum_{\mathrm{i}=1}^{3}\left(\mathrm{v}_{\mathrm{i}}+\frac{1}{2}\right)\mathrm{h}\,v_{0_{\mathrm{i}}}.
(b) Não são as mesmas. Para o oscilador isotrópico ( \omega_1=\omega_2=\omega_3) a energia depende só de N=v_1+v_2+v_3 e a degenerescência é \displaystyle g_{\text{osc}}(N)=\binom{N+2}{2}=\frac{(N+1)(N+2)}{2}. Para a partícula na caixa a energia depende de n_x^{2}+n_y^{2}+n_z^{2} e a degenerescência é dada pelas soluções inteiras dessa soma de quadrados (permutações e coincidências aritméticas); esse padrão é irregular e diferente do caso do oscilador.

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