a) Calcule as funções
e
para um corpo em queda sujeito à força resistiva
, além da força peso;
b) calcule a velocidade terminal do corpo aplicando o limite de
para
;
c) mostre que
torna-se a expressão do movimento uniformemente variado quando a força resistiva é muito pequena.
b) calcule a velocidade terminal do corpo aplicando o limite de
c) mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um corpo que está caindo sob a ação da gravidade, mas além disso, ele também enfrenta uma força de resistência do ar, que é proporcional à velocidade com que ele está caindo. Vamos precisar usar conceitos de cinemática e dinâmica, especialmente a segunda lei de Newton. Vamos calcular a velocidade $ v(t) $ e a posição $ y(t) $ do corpo em função do tempo, encontrar a velocidade terminal usando limites e ver como a posição se comporta quando a resistência do ar é muito pequena.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças envolvidas. Temos duas forças atuando no corpo:
- Força peso ($ F_g $): que é igual a $ m \cdot g $, onde $ m $ é a massa do corpo e $ g $ a aceleração da gravidade.
- Força de resistência do ar ($ F_D $): que é proporcional à velocidade e pode ser expressa como $ F_D = -b \cdot v $, onde $ b $ é um coeficiente de resistência e $ v $ a velocidade do corpo.
A equação da segunda lei de Newton é $ F_{resultante} = m \cdot a $, onde $ a $ é a aceleração. Como as forças estão na mesma direção (vertical), podemos escrever:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ v(t) $. Vamos reorganizar a equação:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração. Dividindo ambos os lados por $ e^{\frac{b}{m} t} $:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial. Supondo que o corpo parte do repouso, temos $ v(0) = 0 $:
Substituindo $ C $ na expressão de $ v(t) $:
Então, essa é a função da velocidade em função do tempo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a posição $ y(t) $. Sabemos que $ y(t) $ é a integral de $ v(t) $ em relação ao tempo:
Integrando termo a termo:
Onde $ C’ $ é outra constante de integração. Considerando que $ y(0) = 0 $:
Assim, a expressão para $ y(t) $ fica:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b) do exercício: encontrar a velocidade terminal. A velocidade terminal é o valor que $ v(t) $ atinge quando $ t $ tende ao infinito. Vamos calcular o limite de $ v(t) $ quando $ t \rightarrow \infty $:
Sabemos que $ e^{-\frac{b}{m} t} $ tende a zero quando $ t $ vai para o infinito. Então:
Passo 7
Finalmente, na parte c), precisamos mostrar que $ y(t) $ se torna a expressão do movimento uniformemente variado (MUV) quando a força resistiva é muito pequena.
O MUV é dado por:
No nosso caso, assumimos que o corpo parte do repouso, então $ v_0 = 0 $ e $ y_0 = 0 $, ficando:
Vamos analisar nossa expressão para $ y(t) $ quando a resistência do ar é muito pequena, ou seja, quando $ b $ é muito pequeno.
Na expressão que encontramos:
Quando $ b $ é muito pequeno, $ \frac{b}{m} t $ também é pequeno para tempos não extremamente grandes. Usando a aproximação de $ e^x \approx 1 + x $ para $ x $ pequeno:
Substituindo na expressão de $ y(t) $:
Simplificando:
Hmm, parece que precisamos refinar a aproximação. Vamos expandir o termo exponencial com mais precisão usando a segunda ordem:
Substituindo:
Simplificando:
Os primeiros dois termos se cancelam, sobrando:
Que é exatamente a expressão do MUV!
Resposta
a) As funções de velocidade e posição são:
b) A velocidade terminal é:
c) Quando a força resistiva é muito pequena, a posição $ y(t) $ se aproxima de:
que é a expressão do movimento uniformemente variado.