Calcule
sendo
dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função
dada por
.
Informações dadas: a única fórmula do enunciado é .
Observação importante (da própria função): a função não está definida em , portanto qualquer derivada só poderá existir para
.
Informações dadas: a única fórmula do enunciado é
Observação importante (da própria função): a função não está definida em
Passo 2
Primeiro truque prático (relevante para a prova): reescrever
como uma potência. Isso facilita o uso de regras de derivação que já conhecemos. Reescrevemos
Explicação simples:
significa exatamente
. Transformar fração em potência é uma técnica muito comum para derivar rapidamente.
Passo 3
Apresentando a regra que vamos usar (a “fórmula” que vale decorar e saber aplicar): a regra da potência diz que, para uma função
(com
real adequado), a derivada é
Aqui cada símbolo significa:
é o expoente da potência e
é a variável. A regra diz que “trazemos o expoente para frente” (multiplicando) e subtraímos 1 do expoente. Essa é uma regra fundamental e muito usada em provas.
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao nosso caso: temos
, então
. Usando a fórmula,
Agora escrevemos a forma mais comum de representar isso:
Lembre-se: essa expressão só faz sentido quando
, porque em
a função original nem está definida.
Passo 5
Uma alternativa (útil caso você esqueça imediatamente a regra da potência): usar a regra do quociente. Se
, então
No nosso caso
e
. Como
e
, a regra dá
confirmando o resultado anterior. Essa abordagem é boa para conferir.
Passo 6
Se quiseres ver explicitamente pela definição (prova mínima com limite), segue a conta passo a passo do quociente incremental:
Colocando na mesma fração no numerador:
Dividindo por
dá
Fazendo
obtemos
Pronto — o mesmo resultado, com todas as etapas.
Passo 7
Resumo didático e dica de prova: a resposta prática e rápida é lembrar que
e aplicar a regra da potência para obter
. Se tiver dúvida, use o quociente ou o limite para conferir. Não esqueça de mencionar o domínio onde a derivada existe:
. Vai dar certo — respira, repete o processo umas 2 vezes e fixa!