Calcule g^{\prime}(x) sendo g dada por:
g(x)=1 / x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada g'(x) da função g dada por g(x)=1/x.
Informações dadas: a única fórmula do enunciado é g(x)=1/x.
Observação importante (da própria função): a função não está definida em x=0, portanto qualquer derivada só poderá existir para x\neq 0.

Passo 2

Primeiro truque prático (relevante para a prova): reescrever 1/x como uma potência. Isso facilita o uso de regras de derivação que já conhecemos. Reescrevemos
g(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}.
Explicação simples: x^{-1} significa exatamente 1/x. Transformar fração em potência é uma técnica muito comum para derivar rapidamente.

Passo 3

Apresentando a regra que vamos usar (a “fórmula” que vale decorar e saber aplicar): a regra da potência diz que, para uma função f(x)=x^{n} (com n real adequado), a derivada é
f'(x)=n\,x^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa: n é o expoente da potência e x é a variável. A regra diz que “trazemos o expoente para frente” (multiplicando) e subtraímos 1 do expoente. Essa é uma regra fundamental e muito usada em provas.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao nosso caso: temos g(x)=x^{-1}, então n=-1. Usando a fórmula,
g'(x)=(-1)\,x^{-1-1}=(-1)\,x^{-2}.
Agora escrevemos a forma mais comum de representar isso:
g'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Lembre-se: essa expressão só faz sentido quando x\neq 0, porque em x=0 a função original nem está definida.

Passo 5

Uma alternativa (útil caso você esqueça imediatamente a regra da potência): usar a regra do quociente. Se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
No nosso caso u(x)=1 e v(x)=x. Como u'(x)=0 e v'(x)=1, a regra dá
g'(x)=\frac{0\cdot x - 1\cdot 1}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}},
confirmando o resultado anterior. Essa abordagem é boa para conferir.

Passo 6

Se quiseres ver explicitamente pela definição (prova mínima com limite), segue a conta passo a passo do quociente incremental:
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}.
Colocando na mesma fração no numerador:
\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}=\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}=\frac{-h}{x(x+h)}.
Dividindo por h
\frac{-h}{h\,x(x+h)}=-\frac{1}{x(x+h)}.
Fazendo h\to 0 obtemos
\lim_{h\to 0}\left(-\frac{1}{x(x+h)}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Pronto — o mesmo resultado, com todas as etapas.

Passo 7

Resumo didático e dica de prova: a resposta prática e rápida é lembrar que 1/x=x^{-1} e aplicar a regra da potência para obter g'(x)=-x^{-2}. Se tiver dúvida, use o quociente ou o limite para conferir. Não esqueça de mencionar o domínio onde a derivada existe: x\neq 0. Vai dar certo — respira, repete o processo umas 2 vezes e fixa!

Resposta

-\dfrac{1}{x^{2}},\; x\neq 0

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