Questão 1. Calcule:
f^{\prime}(x), onde f(x)=\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x e^{2 x}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(x), onde está dada a função
f(x)=\frac{\sin(\pi x)}{x e^{2 x}+1}.
Informações relevantes: o numerador é \sin(\pi x) e o denominador é x e^{2x}+1. A única pergunta do enunciado é encontrar a derivada f^{\prime}(x).

Passo 2

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (vou explicar cada uma de forma prática):
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Isto vem de derivar u\cdot v^{-1} e aplicar a regra do produto e da cadeia.
  • Regra da cadeia (exemplo prático): se g(x)=\sin(kx), com k constante, então g'(x)=k\cos(kx). Aqui a ideia é derivar a função externa ( \sin) e multiplicar pela derivada da função interna ( kx).
  • Regra do produto (exemplo prático): se h(x)=x\cdot e^{2x}, então
h'(x)=1\cdot e^{2x} + x\cdot (e^{2x})',
ou seja, derivamos cada fator mantendo o outro, somando os resultados.
  • Derivadas básicas que usaremos:
\frac{d}{dx}\sin(\pi x)=\pi\cos(\pi x), \qquad \frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}.

Passo 3

Identificamos u(x) e v(x) para aplicar a regra do quociente:
u(x)=\sin(\pi x),\qquad v(x)=x e^{2x}+1.
Agora calculamos u'(x) e v'(x) passo a passo.
Para u'(x): aplicando a regra da cadeia para \sin(\pi x),
u'(x)=\pi\cos(\pi x).
Para v'(x): primeiro derivamos x e^{2x} usando a regra do produto.
\frac{d}{dx}[x e^{2x}] = 1\cdot e^{2x} + x\cdot 2e^{2x} = e^{2x} + 2x e^{2x}.
A derivada de +1 é 0. Então
v'(x)=e^{2x}+2x e^{2x}=e^{2x}(1+2x).

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
f'(x)=\frac{\pi\cos(\pi x)\big(x e^{2x}+1\big)-\sin(\pi x)\,e^{2x}(1+2x)}{\big(x e^{2x}+1\big)^{2}}.

Passo 5

Podemos deixar a expressão mais explícita expandindo parcialmente ou fatorando termos comuns. Uma forma elegante e já suficiente para a prova é manter o numerador fatorado como em cima, que mostra claramente a aplicação das regras:
f'(x)=\frac{\pi\cos(\pi x)\big(x e^{2x}+1\big)-e^{2x}(1+2x)\sin(\pi x)}{\big(x e^{2x}+1\big)^{2}}.
Se quiseres, dá para agrupar os termos com e^{2x}:
f'(x)=\frac{e^{2x}\big(\pi x\cos(\pi x)- (1+2x)\sin(\pi x)\big)+\pi\cos(\pi x)}{\big(x e^{2x}+1\big)^{2}},
mas a forma do Passo 4 já é totalmente correta e clara.

Resposta

f'(x)=\frac{\pi\cos(\pi x)\big(x e^{2x}+1\big)-e^{2x}(1+2x)\sin(\pi x)}{\big(x e^{2x}+1\big)^{2}}

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