Questão 1. Calcule:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde está dada a função
Informações relevantes: o numerador é
e o denominador é
. A única pergunta do enunciado é encontrar a derivada
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (vou explicar cada uma de forma prática):
- Regra do quociente: se
, então
Isto vem de derivar
e aplicar a regra do produto e da cadeia.
-
Regra da cadeia (exemplo prático): se
, com constante, então . Aqui a ideia é derivar a função externa ( ) e multiplicar pela derivada da função interna ( ). -
Regra do produto (exemplo prático): se
, então
ou seja, derivamos cada fator mantendo o outro, somando os resultados.
- Derivadas básicas que usaremos:
Passo 3
Identificamos
e
para aplicar a regra do quociente:
Agora calculamos
e
passo a passo.
Para
: aplicando a regra da cadeia para
,
Para
: primeiro derivamos
usando a regra do produto.
A derivada de
é
. Então
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Substituindo
obtidos:
Passo 5
Podemos deixar a expressão mais explícita expandindo parcialmente ou fatorando termos comuns. Uma forma elegante e já suficiente para a prova é manter o numerador fatorado como em cima, que mostra claramente a aplicação das regras:
Se quiseres, dá para agrupar os termos com
:
mas a forma do Passo 4 já é totalmente correta e clara.