Determine o gradiente de f.
Calcule o gradiente no ponto P.
Determine a taxa de variação \operatorname{de} f \operatorname{em} P na direção do vetor \mathbf{u}. f(x, y, z)=\sqrt{x+y z}, \quad P(1,3,1), \quad \mathbf{u}=\left\langle\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right\rangle
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Determinar o gradiente de f.
Calcular o gradiente no ponto P(1,3,1).
Determinar a taxa de variação de f em P na direção do vetor \mathbf{u}=\left\langle\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right\rangle.
O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (aula rápida e prática).
O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável:
Aqui cada derivada parcial significa: derivar f tratando as outras variáveis como constantes. Para funções compostas como \sqrt{u} com u=x+yz usamos a regra da cadeia: a derivada de \sqrt{u} em relação a u é \dfrac{1}{2\sqrt{u}}, e então multiplicamos pela derivada de u em relação à variável desejada.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para obter as derivadas parciais.
Escrevo f(x,y,z)=(x+yz)^{1/2}. Diferenciando em relação a x, y e z: