Determine o gradiente de f.
Calcule o gradiente no ponto P.
Determine a taxa de variação \operatorname{de} f \operatorname{em} P na direção do vetor \mathbf{u}.
f(x, y, z)=\sqrt{x+y z}, \quad P(1,3,1), \quad \mathbf{u}=\left\langle\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{6}{7}\right\rangle

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Determinar o gradiente de f.
  2. Calcular o gradiente no ponto P(1,3,1).
  3. Determinar a taxa de variação de f em P na direção do vetor \mathbf{u}=\left\langle\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right\rangle.
As informações fornecidas são:
f(x,y,z)=\sqrt{x+y z},
o ponto
P=(1,3,1),
e o vetor-direção
\mathbf{u}=\left\langle\frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right\rangle.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (aula rápida e prática).
O gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f em relação a cada variável:
\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right\rangle.
Aqui cada derivada parcial significa: derivar f tratando as outras variáveis como constantes. Para funções compostas como \sqrt{u} com u=x+yz usamos a regra da cadeia: a derivada de \sqrt{u} em relação a u é \dfrac{1}{2\sqrt{u}}, e então multiplicamos pela derivada de u em relação à variável desejada.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para obter as derivadas parciais.
Escrevo f(x,y,z)=(x+yz)^{1/2}. Diferenciando em relação a x, y e z:
Derivada em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2}(x+yz)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+yz) =\frac{1}{2}(x+yz)^{-1/2}\cdot 1 =\frac{1}{2\sqrt{x+yz}}.
Derivada em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2}(x+yz)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+yz) =\frac{1}{2}(x+yz)^{-1/2}\cdot z =\frac{z}{2\sqrt{x+yz}}.
Derivada em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}(x+yz)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x+yz) =\frac{1}{2}(x+yz)^{-1/2}\cdot y =\frac{y}{2\sqrt{x+yz}}.
Portanto, o gradiente geral é
\nabla f(x,y,z)=\left\langle \frac{1}{2\sqrt{x+yz}},\;\frac{z}{2\sqrt{x+yz}},\;\frac{y}{2\sqrt{x+yz}}\right\rangle.

Passo 4

Avaliando o gradiente no ponto P(1,3,1).
Primeiro calculo o argumento da raiz em P:
x+yz \big|_{P}=1+3\cdot 1=4,
logo \sqrt{x+yz}\big|_{P}=\sqrt{4}=2.
Substituo nas fórmulas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{P}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4},
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{P}=\frac{z}{2\cdot 2}=\frac{1}{4},
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{P}=\frac{y}{2\cdot 2}=\frac{3}{4}.
Portanto
\nabla f(P)=\left\langle \frac{1}{4},\;\frac{1}{4},\;\frac{3}{4}\right\rangle.

Passo 5

Definição e observação sobre o vetor \mathbf{u}.
A taxa de variação (derivada direção) de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente em P e \mathbf{u}.
Antes de usar, confirmo que \mathbf{u} é unitário:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\left(\frac{2}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^2+\left(\frac{6}{7}\right)^2} =\sqrt{\frac{4+9+36}{49}}=\sqrt{\frac{49}{49}}=1.
Portanto \mathbf{u} já é unitário e a fórmula acima vale diretamente.

Passo 6

Calculando o produto escalar para obter a taxa de variação.
Faço o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(P)=\left\langle \frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right\rangle\cdot\left\langle \frac{2}{7},\frac{3}{7},\frac{6}{7}\right\rangle =\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{7}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}.
Calculo cada termo e somo:
\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{7}=\frac{2}{28},\quad \frac{1}{4}\cdot\frac{3}{7}=\frac{3}{28},\quad \frac{3}{4}\cdot\frac{6}{7}=\frac{18}{28}.
Somando:
D_{\mathbf{u}}f(P)=\frac{2+3+18}{28}=\frac{23}{28}.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left\langle \frac{1}{2\sqrt{x+yz}},\;\frac{z}{2\sqrt{x+yz}},\;\frac{y}{2\sqrt{x+yz}}\right\rangle
\nabla f(1,3,1)=\left\langle \frac{1}{4},\;\frac{1}{4},\;\frac{3}{4}\right\rangle
D_{\mathbf{u}}f(1,3,1)=\frac{23}{28}

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