Calcule o gradiente da função escalar:
\varphi(x, y, z)=x^{2} y+y z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função escalar
\varphi(x,y,z)=x^{2}y + y z^{2}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para obter as três componentes de \nabla \varphi.

Passo 2

Para encontrar a primeira componente do gradiente, calculamos \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial x},
tratando y e z como constantes. A derivada de x^{2}y em relação a x é 2xy e de yz^{2} é zero. Logo,
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 2\,x\,y.

Passo 3

Para a segunda componente, calculamos \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial y},
tratando x e z como constantes. A derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2} e de y z^{2} é z^{2}. Logo,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^{2} + z^{2}.

Passo 4

Para a terceira componente, calculamos \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial z},
tratando x e y como constantes. A derivada de x^{2}y em relação a z é zero e de y z^{2} é 2yz. Portanto,
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 2\,y\,z.

Passo 5

Reunindo as três componentes, o gradiente fica
\nabla \varphi(x,y,z) = \Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}\Bigr) = \bigl(2xy,\;x^{2}+z^{2},\;2yz\bigr).

Resposta

\displaystyle \nabla \varphi(x,y,z) = (2\,x\,y,\;x^{2} + z^{2},\;2\,y\,z)

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