Calcule o rotacional do campo:
\vec{G}(x, y, z)=(y, z, x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (curl) do campo de vetores
\vec{G}(x,y,z) = (P,Q,R) = (y,\,z,\,x).
O conteúdo aqui é a definição de rotacional em coordenadas cartesianas, que envolve derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Lembrando que o rotacional de \vec{G}=(P,Q,R) é dado por
\nabla\times \vec{G} =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial R}{\partial y} =\frac{\partial x}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial z}{\partial z}=1,
\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial y}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial x}{\partial x}=1,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial y}{\partial y}=1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do rotacional:
(\nabla\times \vec{G})_1 =0-1=-1, \quad (\nabla\times \vec{G})_2 =0-1=-1, \quad (\nabla\times \vec{G})_3 =0-1=-1.

Resposta

\nabla\times \vec{G}(x,y,z) = (-1,\,-1,\,-1).

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