Calcule o gradiente das funções abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o gradiente da função
Informações relevantes dadas:
- A função depende de três variáveis:
, e . - O objetivo é obter o gradiente, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Passo 2
O que é o gradiente?
- O gradiente de uma função de várias variáveis é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ele aponta na direção de maior crescimento de
e sua norma dá a taxa de crescimento nessa direção. - Em notação:
Aqui
significa: derivar
em relação a
mantendo
e
fixos (tratá-los como constantes). Analogamente para
e
.
Passo 3
Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Regra do poder (power rule): para uma variável
, . Por exemplo, . - Derivada de uma constante multiplicada pela variável:
para constante . Por exemplo, . - Derivada de constante pura é zero:
.
Essas regras valem quando aplicadas como derivadas parciais: ao calcular, trate e como constantes.
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Escrever
destacando os termos que dependem de :
- Ao derivar em relação a
, o grupo entre parênteses é tratado como constante, então sua derivada é zero. Aplicando as regras:
- Somando:
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Destacar termos que dependem de
:
- Ao derivar em relação a
, o segundo grupo é constante. Aplicando as regras:
- Somando:
Passo 6
Calcular
passo a passo:
- Destacar termos que dependem de
:
- Ao derivar em relação a
, o segundo grupo é constante. Aplicando as regras:
- Somando:
Passo 7
Montagem final (juntando as derivadas parciais para formar o gradiente) e observação prática:
- As componentes já obtidas são
, e . - Exemplo rápido para fixar: avaliando em
(apenas para ver uso), obtemos , , . Isso significa que, nesse ponto, a direção de maior crescimento de tem componente nula em e cresce mais nas direções e .