Calcule o gradiente das funções abaixo.
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-z.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o gradiente da função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-z.
Informações relevantes dadas:
  • A função depende de três variáveis: x, y e z.
  • O objetivo é obter o gradiente, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

O que é o gradiente?
  • O gradiente de uma função de várias variáveis é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ele aponta na direção de maior crescimento de f e sua norma dá a taxa de crescimento nessa direção.
  • Em notação:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f em relação a x mantendo y e z fixos (tratá-los como constantes). Analogamente para \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}.

Passo 3

Revisão das regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Regra do poder (power rule): para uma variável t, \dfrac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x.
  • Derivada de uma constante multiplicada pela variável: \dfrac{d}{dt}(a\,t)=a para constante a. Por exemplo, \dfrac{d}{dx}(-2x)=-2.
  • Derivada de constante pura é zero: \dfrac{d}{dt}\text{(C)}=0.
    Essas regras valem quando aplicadas como derivadas parciais: ao calcular \partial f/\partial x, trate y e z como constantes.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • Escrever f destacando os termos que dependem de x:
f(x,y,z)=\big(x^{2}-2x\big)+\big(y^{2}+z^{2}+4y-z\big).
  • Ao derivar em relação a x, o grupo entre parênteses \big(y^{2}+z^{2}+4y-z\big) é tratado como constante, então sua derivada é zero. Aplicando as regras:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(-2x\big)=-2.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
  • Destacar termos que dependem de y:
f(x,y,z)=\big(y^{2}+4y\big)+\big(x^{2}+z^{2}-2x-z\big).
  • Ao derivar em relação a y, o segundo grupo é constante. Aplicando as regras:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(4y\big)=4.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y+4.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} passo a passo:
  • Destacar termos que dependem de z:
f(x,y,z)=\big(z^{2}-z\big)+\big(x^{2}+y^{2}-2x+4y\big).
  • Ao derivar em relação a z, o segundo grupo é constante. Aplicando as regras:
\frac{\partial}{\partial z}\big(z^{2}\big)=2z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}\big(-z\big)=-1.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial z}=2z-1.

Passo 7

Montagem final (juntando as derivadas parciais para formar o gradiente) e observação prática:
  • As componentes já obtidas são \frac{\partial f}{\partial x}=2x-2, \frac{\partial f}{\partial y}=2y+4 e \frac{\partial f}{\partial z}=2z-1.
  • Exemplo rápido para fixar: avaliando em (x,y,z)=(1,0,2) (apenas para ver uso), obtemos \frac{\partial f}{\partial x}=0, \frac{\partial f}{\partial y}=4, \frac{\partial f}{\partial z}=3. Isso significa que, nesse ponto, a direção de maior crescimento de f tem componente nula em x e cresce mais nas direções y e z.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=(2x-2,\;2y+4,\;2z-1)

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