Seja
Determine a derivada direcional de
no ponto
, na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função fornecida:
. - Ponto onde queremos a derivada direcional:
. - Vetor de direção fornecido:
. - O que precisa ser calculado: a derivada direcional de
em na direção do vetor .
Passo 2
Definição e ideia que vamos usar (curtinha e clara).
A derivada direcional de num ponto
na direção do vetor unitário
é, quando
é diferenciável,
A derivada direcional de
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar. Ou seja: primeiro calculo o gradiente (as derivadas parciais), avalio no ponto, normalizo o vetor direção para ficar unitário, e faço o produto escalar entre eles.
Explicação didática rápida:
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais de :
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando só muda (mantendo fixo). Similar para . - A derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos movemos no plano na direção de um vetor; usar vetor unitário padroniza a taxa por unidade de deslocamento.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante e derivar
em relação a
:
Derivada parcial em relação a
: tratar
como constante e derivar
em relação a
:
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo
e
em
:
Passo 5
Normalizar o vetor direção
para obter o vetor unitário
.
Cálculo da norma do vetor
:
Logo o vetor unitário na direção de
é
Explicação breve do porquê: a derivada direcional usa vetor unitário para medir variação por unidade de comprimento na direção escolhida. Se não normalizarmos, o resultado seria escalado pelo comprimento do vetor.
Passo 6
Calcular a derivada direcional como o produto escalar entre
e
.
Fazer o produto escalar:
Calcular termos:
Somando: