Seja
f(x, y)=x^{2} y+y^{2} .
Determine a derivada direcional de f no ponto (1,2), na direção do vetor (3,4).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}y+y^{2}
e pede a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor (3,4).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função fornecida: f(x,y)=x^{2}y+y^{2}.
  • Ponto onde queremos a derivada direcional: (1,2).
  • Vetor de direção fornecido: (3,4).
  • O que precisa ser calculado: a derivada direcional de f em (1,2) na direção do vetor (3,4).

Passo 2

Definição e ideia que vamos usar (curtinha e clara).
A derivada direcional de f num ponto (x_{0},y_{0}) na direção do vetor unitário \mathbf{u} é, quando f é diferenciável,
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar. Ou seja: primeiro calculo o gradiente (as derivadas parciais), avalio no ponto, normalizo o vetor direção para ficar unitário, e faço o produto escalar entre eles.
Explicação didática rápida:
  • O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando só x muda (mantendo y fixo). Similar para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • A derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos movemos no plano na direção de um vetor; usar vetor unitário padroniza a taxa por unidade de deslocamento.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar x^{2}y+y^{2} em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y.
Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante e derivar x^{2}y+y^{2} em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+2y.
Portanto o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\bigl(2xy,\;x^{2}+2y\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,2).
Substituindo x=1 e y=2 em \nabla f(x,y):
\nabla f(1,2)=\bigl(2\cdot1\cdot2,\;1^{2}+2\cdot2\bigr)=(4,5).

Passo 5

Normalizar o vetor direção (3,4) para obter o vetor unitário \mathbf{u}.
Cálculo da norma do vetor (3,4):
\|\,(3,4)\,\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Logo o vetor unitário na direção de (3,4) é
\mathbf{u}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
Explicação breve do porquê: a derivada direcional usa vetor unitário para medir variação por unidade de comprimento na direção escolhida. Se não normalizarmos, o resultado seria escalado pelo comprimento do vetor.

Passo 6

Calcular a derivada direcional como o produto escalar entre \nabla f(1,2) e \mathbf{u}.
Fazer o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot\mathbf{u}=(4,5)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=4\cdot\frac{3}{5}+5\cdot\frac{4}{5}.
Calcular termos:
4\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{5},\qquad 5\cdot\frac{4}{5}=\frac{20}{5}.
Somando:
\frac{12}{5}+\frac{20}{5}=\frac{32}{5}.

Resposta

\dfrac{32}{5}

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