A função z=z(x, y) é definida implicitamente pela equação
x y e^{z}+z=x+y .
Supondo que z seja diferenciável, determine as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
x y e^{z}+z=x+y,
onde z=z(x,y) é suposta diferenciável. As perguntas que precisamos responder são:
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Determinar \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função z depende de x e y.
  • A igualdade \;x y e^{z}+z=x+y\; vale para todos os x,y da região de interesse.
  • Podemos usar diferenciação implícita porque z é diferenciável.

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{\partial z}{\partial x} diferenciando a equação implícita em relação a x, mantendo y constante. Primeiro defino a notação curta
z_x := \frac{\partial z}{\partial x},\qquad z_y := \frac{\partial z}{\partial y}.
Regras que vou usar (mini-aula rápida):
  • Regra do produto: se u(x)=a(x)b(x) então u'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
  • Regra da cadeia: se w(x)=e^{z(x)} então w'(x)=e^{z(x)}\cdot z'(x).
  • Ao derivar em relação a x, trate y como constante.
Agora derivo termo a termo. Para o primeiro termo \;x y e^{z}\;, veja-o como produto (x y)\cdot e^{z}. Diferenciando em relação a x (com y constante):
  • derivada de (x y) é y,
  • derivada de e^{z(x,y)} é e^{z}\cdot z_x.
    Pelo produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x y e^{z}\big)=y e^{z}+x y e^{z} z_x.
A derivada de z em relação a x é simplesmente z_x. No lado direito, \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
Portanto a diferenciação dá a equação
y e^{z}+x y e^{z} z_x + z_x = 1.

Passo 3

Agora isolamos z_x. Agrupando os termos que multiplicam z_x:
\big(x y e^{z}+1\big) z_x + y e^{z} = 1.
Subtraindo y e^{z} e dividindo pelo coeficiente de z_x (desde que x y e^{z}+1\neq0), obtemos
z_x = \frac{1 - y e^{z}}{x y e^{z}+1}.
Isto é \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1 - y e^{z}}{1 + x y e^{z}}.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial z}{\partial y} diferenciando a equação original em relação a y, mantendo x constante. Uso notação z_y para \partial z/\partial y.
Diferenciando \;x y e^{z}\; em relação a y (agora x é constante): considere (x y)\cdot e^{z}. Derivada de (x y) em relação a y é x. Pela regra do produto e da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x y e^{z}\big)=x e^{z}+x y e^{z} z_y.
A derivada de z em relação a y é z_y. No lado direito, \dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
Assim obtemos
x e^{z}+x y e^{z} z_y + z_y = 1.

Passo 5

Isolando z_y:
\big(x y e^{z}+1\big) z_y + x e^{z} = 1.
Logo, supondo x y e^{z}+1\neq0,
z_y = \frac{1 - x e^{z}}{x y e^{z}+1}.
Isto é \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1 - x e^{z}}{1 + x y e^{z}}.

Resposta

\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{1 - y e^{z}}{1 + x y e^{z}}
\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{1 - x e^{z}}{1 + x y e^{z}}

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