A função
é definida implicitamente pela equação
Supondo que
seja diferenciável, determine as derivadas parciais
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação implícita
onde
é suposta diferenciável. As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar
. - Determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
depende de e . - A igualdade
vale para todos os da região de interesse. - Podemos usar diferenciação implícita porque
é diferenciável.
Passo 2
Vamos calcular
diferenciando a equação implícita em relação a
, mantendo
constante. Primeiro defino a notação curta
Regras que vou usar (mini-aula rápida):
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: se
então . - Ao derivar em relação a
, trate como constante.
Agora derivo termo a termo. Para o primeiro termo
, veja-o como produto
. Diferenciando em relação a
(com
constante):
- derivada de
é , - derivada de
é .
Pelo produto:
A derivada de
em relação a
é simplesmente
. No lado direito,
.
Portanto a diferenciação dá a equação
Passo 3
Agora isolamos
. Agrupando os termos que multiplicam
:
Subtraindo
e dividindo pelo coeficiente de
(desde que
), obtemos
Isto é
.
Passo 4
Agora calculamos
diferenciando a equação original em relação a
, mantendo
constante. Uso notação
para
.
Diferenciando
em relação a
(agora
é constante): considere
. Derivada de
em relação a
é
. Pela regra do produto e da cadeia:
A derivada de
em relação a
é
. No lado direito,
.
Assim obtemos
Passo 5
Isolando
:
Logo, supondo
,
Isto é
.