Calcule i^5+i^2+i^12-i^25+i^30.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular $ i^{5} + i^{2} + i^{12} - i^{25} + i^{30} $. Esse problema está relacionado com números imaginários, especificamente com a unidade imaginária $ i $ e suas potências. Para resolver, vamos precisar entender como as potências de $ i $ se comportam e simplificar cada termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ i $ é a unidade imaginária, onde $ i = \sqrt{-1} $. As potências de $ i $ seguem um ciclo de 4. Isso significa que, para qualquer número inteiro positivo $ n $, $ i^{n} $ pode ser simplificado observando o resto da divisão de $ n $ por 4.

Passo 3

Vamos simplificar cada termo da expressão original usando a periodicidade de 4 das potências de $ i $:
  • Para $ i^{5} $:
    Dividimos 5 por 4, o resto é 1. Então, $ i^{5} = i^{1} = i $.
  • Para $ i^{2} $:
    Já sabemos que $ i^{2} = -1 $.
  • Para $ i^{12} $:
    Dividimos 12 por 4, o resto é 0. Então, $ i^{12} = i^{0} = 1 $.
  • Para $ i^{25} $:
    Dividimos 25 por 4, o resto é 1. Então, $ i^{25} = i^{1} = i $.
  • Para $ i^{30} $:
    Dividimos 30 por 4, o resto é 2. Então, $ i^{30} = i^{2} = -1 $.

Passo 4

Agora que simplificamos cada termo, vamos substituir na expressão original:
i^5 + i^2 + i^12 - i^25 + i^30 = i + (-1) + 1 - i + (-1)

Passo 5

Vamos resolver as operações passo a passo:
  • $ i - i = 0 $ (os termos imaginários se cancelam)
  • $ -1 + 1 = 0 $
  • $ 0 + (-1) = -1 $

Resposta

O valor final é $ -1 $.

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