Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove a afirmação e se for falsa, explique o porquê.
O domínio da função arctg(ln (x^2x+4+1)) é igual a R.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a igualdade entre o domínio de e f(x)=arctgl(lnl(tfracx^2x+5r)r) é verdadeira ou falsa, usando tópicos de domínio de funções compostas, especialmente de R e .

Passo 2

Para que esteja definido, basta que o argumento de arctgl(ln(cdot)r) seja estritamente positivo, pois aceita toda ln. Logo, precisamos resolver
arctg

Passo 3

Note que x^2>=0 para todo x, com igualdade somente em x=0. Portanto, o sinal de tfracx^2x+5 é o mesmo de x+5, exceto que em x=0 o numerador anula tudo e em x=-5 o denominador anula tudo. Assim:
  • Para x>-5, temos x+5>0 e x^2>0 se xneq0, logo tfracx^2x+5>0.
  • Para x<-5, temos x+5<0 e x^2>0, logo tfracx^2x+5<0, não serve.
  • Em x=0, x^2/(x+5)=0, e ln(0) é indefinido.
  • Em x=-5, o denominador é zero, então a expressão não existe.

Passo 4

Daí o domínio de f é
(-5,0)cup(0,+infty)

Passo 5

Como esse conjunto não é igual a R, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa, pois o domínio é (-5,0)cup(0,+infty), e não R.

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