O enunciado pede que eu calcule i^{8001}.
Informações relevantes dadas (implícitas na notação): i é a unidade imaginária, ou seja, a constante complexa que satisfaz i^2 = -1. O expoente é o inteiro positivo 8001.
Passo 2
Vamos construir os primeiros poderes de i para sentir o padrão. Calculemos sucessivamente:
i^1 = i.
i^2 = -1 \quad\text{(essa é a definição básica do \(i\))}.
i^3 = i^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i.
i^4 = i^3\cdot i = (-i)\cdot i = -i^2 = -(-1) = 1.
Passo 3
Observando os resultados do passo anterior vemos uma repetição: i, -1, -i, 1. Como i^4 = 1, os poderes de i repetem a cada 4 expoentes. Ou seja, a sequência dos valores de i^n tem período 4.
Passo 4
Explicando a técnica prática: para qualquer inteiro n podemos escrever n = 4q + r com q inteiro e r\in\{0,1,2,3\} (essa é a divisão com resto). Então
Agora aplicamos isso ao nosso caso com n=8001. Fazemos a divisão por 4:
8001 = 4\cdot 2000 + 1,
logo o resto é r=1.
Passo 6
Usando o resultado do passo anterior temos
i^{8001} = i^{4\cdot 2000 + 1} = (i^4)^{2000}\cdot i = 1^{2000}\cdot i = i.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar: \,i^5 = i^{4+1} = i, \,i^{10} = i^{8+2} = i^2 = -1. Isso confirma que reduzir o expoente módulo 4 é a ferramenta correta e prática para provas.