Calcule
(4+\sqrt{3} i)^{2};

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quadrado do número complexo (4+\sqrt{3}\,i).
Informações dadas: o número complexo é (4+\sqrt{3}\,i). Queremos (4+\sqrt{3}\,i)^{2}.

Passo 2

Primeiro, uma pequena revisão útil (tipo “cola” para a prova): um número complexo tem forma a+bi, onde a é a parte real, b é a parte imaginária (real também) e i é a unidade imaginária com a propriedade
i^{2}=-1.
Aqui temos a=4 e b=\sqrt{3}. Quando elevamos ao quadrado, podemos usar a identidade do quadrado de uma soma (ou FOIL):
(a+bi)^{2}=a^{2}+2ab\,i+(bi)^{2}.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=4 e b=\sqrt{3}:
(4+\sqrt{3}\,i)^{2}=4^{2}+2\cdot 4\cdot\sqrt{3}\,i+(\sqrt{3}\,i)^{2}.

Passo 4

Calcule as partes separadamente. Primeiro a parte real a^{2}:
4^{2}=16.

Passo 5

Agora o termo imaginário 2ab\,i:
2\cdot 4\cdot\sqrt{3}\,i=8\sqrt{3}\,i.

Passo 6

Finalmente o termo (\sqrt{3}\,i)^{2}. Use (\sqrt{3}\,i)^{2}=(\sqrt{3})^{2}\,i^{2}. Como (\sqrt{3})^{2}=3 e i^{2}=-1, temos
(\sqrt{3}\,i)^{2}=3\cdot(-1)=-3.

Passo 7

Junte todas as partes: real 16, termo vindo do quadrado da parte imaginária -3, e a parte imaginária 8\sqrt{3}\,i. Então
16-3+8\sqrt{3}\,i=13+8\sqrt{3}\,i.
Se quiser conferir rapidinho: multiplicando direto (4+\sqrt{3}\,i)(4+\sqrt{3}\,i) dá exatamente os mesmos termos.

Resposta

13+8\sqrt{3}\,i

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