Calcule I^* para a bola parcialmente oca com raio interior a e raio externo r. Expresse sua resposta em termos do coeficiente b=a / r. O que acontece quando a 0 e quando a r?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o de uma bola parcialmente oca que tem um raio interno e um raio externo . Vamos usar conhecimentos de Física, especificamente sobre momento de inércia de corpos esféricos. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de momento de inércia para esferas maciças e oca, e entender como combinar essas informações para uma bola que não está totalmente oca nem totalmente maciça.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( ) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma esfera maciça, a fórmula é e para uma casca esférica (totalmente oca), é .

Passo 3

Agora, como estamos lidando com uma bola parcialmente oca, basicamente temos uma esfera maior de raio de onde retiramos uma esfera menor de raio . Então, o momento de inércia da bola parcialmente oca será a diferença entre o momento de inércia da esfera externa e o da esfera interna.

Passo 4

Vamos chamar o momento de inércia da esfera externa de I^* = Iexterna - Iinterna = 25 M r^2 - 25 M a^2 e o da esfera interna de .
Então, o momento de inércia da bola parcialmente oca será:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
I^* = 25 M (r^2 - a^2)

Passo 6

Agora, o enunciado pede para expressar I^* = 25 M (r^2 - (b cdot r)^2) = 25 M r^2 (1 - b^2) em termos do coeficiente . Vamos substituir por :

Passo 7

Então, temos:
I^* = 25 M r^2 (1 - b^2)

Passo 8

Agora, vamos analisar o que acontece com I^* = 25 M r^2 (1 - 0) = 25 M r^2 quando I^* = 25 M r^2 (1 - 1) = 0 tende a 0 e quando tende a .
  • Quando : Isso significa que . Substituindo na fórmula:
    Isso corresponde ao momento de inércia de uma esfera maciça completa.
  • Quando : Aqui, . Substituindo:
    Isso faz sentido porque se , a esfera externa e a interna têm o mesmo raio, ou seja, efetivamente não há massa distribuída para contribuir com o momento de inércia.

Resposta

O momento de inércia da bola parcialmente oca é dado por
I^* = 25 M r^2 (1 - b^2)
onde . Quando , se torna (momento de inércia de uma esfera maciça completa). Quando , tende a zero.

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