Calcule
para a bola parcialmente oca com raio interior
e raio externo
. Expresse sua resposta em termos do coeficiente
. O que acontece quando
e quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o
de uma bola parcialmente oca que tem um raio interno
e um raio externo
. Vamos usar conhecimentos de Física, especificamente sobre momento de inércia de corpos esféricos. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de momento de inércia para esferas maciças e oca, e entender como combinar essas informações para uma bola que não está totalmente oca nem totalmente maciça.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma esfera maciça, a fórmula é
e para uma casca esférica (totalmente oca), é
.
Passo 3
Agora, como estamos lidando com uma bola parcialmente oca, basicamente temos uma esfera maior de raio
de onde retiramos uma esfera menor de raio
. Então, o momento de inércia da bola parcialmente oca será a diferença entre o momento de inércia da esfera externa e o da esfera interna.
Passo 4
Vamos chamar o momento de inércia da esfera externa de
e o da esfera interna de
.
Então, o momento de inércia da bola parcialmente oca será:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora, o enunciado pede para expressar
em termos do coeficiente
. Vamos substituir
por
:
Passo 7
Então, temos:
Passo 8
Agora, vamos analisar o que acontece com
quando
tende a 0 e quando
tende a
.
-
Quando
: Isso significa que . Substituindo na fórmula: Isso corresponde ao momento de inércia de uma esfera maciça completa. -
Quando
: Aqui, . Substituindo: Isso faz sentido porque se, a esfera externa e a interna têm o mesmo raio, ou seja, efetivamente não há massa distribuída para contribuir com o momento de inércia.
Resposta
O momento de inércia da bola parcialmente oca é dado por
onde
. Quando
,
se torna
(momento de inércia de uma esfera maciça completa). Quando
,
tende a zero.