Se y(t) é a distância vertical percorrida até o instante t, então o mesmo raciocínio utilizado no Problema 1 mostra que v^2=2 g y /(1+I^*) em qualquer instante t. Utilize esse resultado para mostrar que y satisfaz a equação diferencial
d yd t=raiz2 g1+I^*(sen alpha) raizy
onde alpha é o ângulo de inclinaçăo đa rampa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distância vertical v^2 = 2 g y1 + I^* que algo percorre até o tempo d yd t = raiz2 g1 + I^* cdot (sin alpha) cdot raizy . A gente tem uma equação que relaciona a velocidade com essa distância:
Nosso objetivo é usar essa relação para mostrar que satisfaz a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar entender conceitos de cinemática, como velocidade e aceleração, e como relacionar essas quantidades usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v = d yd t é a derivada da posição em relação ao tempo. No nosso caso, a posição é , então:
Isso significa que podemos substituir na equação original pela derivada de .

Passo 3

Substituindo ( d yd t )^2 = 2 g y1 + I^* na equação dada:
Agora, vamos resolver essa equação para .

Passo 4

Para isolar d yd t = raiz 2 g y1 + I^* , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Até aqui, temos a derivada de em termos de mesma. Mas falta incorporar o ângulo de inclinação .

Passo 5

Considerando que o movimento acontece em uma rampa inclinada com ângulo d yd t = raiz 2 g sin alpha cdot y1 + I^* , a componente da aceleração gravitacional na direção da rampa é d yd t = raiz 2 g1 + I^* cdot sin alpha cdot raizy . Isso nos dá:
Simplificando a expressão:

Resposta

d yd t = raiz 2 g1 + I^* cdot sin alpha cdot raizy

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