Se
é a distância vertical percorrida até o instante
, então o mesmo raciocínio utilizado no Problema 1 mostra que
em qualquer instante
. Utilize esse resultado para mostrar que
satisfaz a equação diferencial
onde
é o ângulo de inclinaçăo đa rampa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distância vertical
que algo percorre até o tempo
. A gente tem uma equação que relaciona a velocidade
com essa distância:
Nosso objetivo é usar essa relação para mostrar que
satisfaz a seguinte equação diferencial:
Vamos precisar entender conceitos de cinemática, como velocidade e aceleração, e como relacionar essas quantidades usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade
é a derivada da posição em relação ao tempo. No nosso caso, a posição é
, então:
Isso significa que podemos substituir
na equação original pela derivada de
.
Passo 3
Substituindo
na equação dada:
Agora, vamos resolver essa equação para
.
Passo 4
Para isolar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Até aqui, temos a derivada de
em termos de
mesma. Mas falta incorporar o ângulo de inclinação
.
Passo 5
Considerando que o movimento acontece em uma rampa inclinada com ângulo
, a componente da aceleração gravitacional na direção da rampa é
. Isso nos dá:
Simplificando a expressão: