Mostre que
v^2=2 g h1+I^* onde I^*=Im r^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona a velocidade de um objeto com a altura da qual ele cai, levando em conta a energia rotacional. Estamos trabalhando com cinemática e energia rotacional. Para resolver, vamos precisar entender de conservação de energia e como a inércia de rotação influencia na velocidade final do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem escorregar, sua energia potencial mgh = 12mv^2 + 12Iomega^2 se transforma em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A equação de conservação de energia fica:
Aqui, é a massa, é a aceleração da gravidade, é a altura, é a velocidade linear, é o momento de inércia, e é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que, para rotação sem escorregamento, a velocidade linear v = omega r e a velocidade angular omega = vr estão relacionadas pela equação:
Onde é o raio do objeto. Podemos rearranjar essa equação para expressar em termos de :

Passo 4

Agora, vamos substituir mgh = 12mv^2 + 12I(vr)^2 na equação de conservação de energia:
mgh = 12mv^2 + 12Ir^2v^2
Simplificando o termo de rotação:

Passo 5

Vamos fatorar mgh = 12v^2( m + Ir^2 ) na equação:
2mgh = v^2( m + Ir^2 )
Agora, queremos isolar , então multiplicamos ambos os lados por 2:

Passo 6

Para isolar v^2 = 2mghm + Ir^2 , dividimos ambos os lados pela expressão :

Passo 7

Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por v^2 = 2gh1 + Imr^2 :
v^2 = 2gh1 + I^*
Aqui, reconhecemos que , então podemos substituir:

Resposta

Então, mostramos que:
v^2 = 2gh1 + I^* onde I^* = Imr^2

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