Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação que relaciona a velocidade
de um objeto com a altura
da qual ele cai, levando em conta a energia rotacional. Estamos trabalhando com cinemática e energia rotacional. Para resolver, vamos precisar entender de conservação de energia e como a inércia de rotação
influencia na velocidade final do objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem escorregar, sua energia potencial
se transforma em energia cinética de translação e energia cinética de rotação. A equação de conservação de energia fica:
Aqui,
é a massa,
é a aceleração da gravidade,
é a altura,
é a velocidade linear,
é o momento de inércia, e
é a velocidade angular.
Passo 3
Sabemos que, para rotação sem escorregamento, a velocidade linear
e a velocidade angular
estão relacionadas pela equação:
Onde
é o raio do objeto. Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação de conservação de energia:
Simplificando o termo de rotação:
Passo 5
Vamos fatorar
na equação:
Agora, queremos isolar
, então multiplicamos ambos os lados por 2:
Passo 6
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão
:
Passo 7
Vamos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por
:
Aqui, reconhecemos que
, então podemos substituir:
Resposta
Então, mostramos que: