Seja \Omega da região plana no 1^{0} quadrante delimitada pelas curvas
x^{2}-y^{2}=1, \quad x^{2}-y^{2}=9, \quad x y=2, \quad x y=4
Calcule
\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y
OBS: se usar o teorema de mudança de coordenadas, justifique com detalhes porque o teorema é válido para a mudança escolhida.

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A região \Omega é a parte do primeiro quadrante ( x>0,\;y>0) limitada pelas curvas x^{2}-y^{2}=1,\qquad x^{2}-y^{2}=9,\qquad x y=2,\qquad x y=4.
  • O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy.
  • Observações úteis extraídas do enunciado:
    • As curvas x^{2}-y^{2}= constante e xy= constante sugerem usar as variáveis
      \,u=x^{2}-y^{2}\, e \,v=xy\,, pois as fronteiras tornam-se retas em (u,v).
    • Como estamos no primeiro quadrante, tem-se x>0,\;y>0, o que facilita escolher raízes positivas ao inverter a transformação.

Passo 2

Escolha da mudança de variáveis e motivação didática.
  • Vou fazer a mudança u = x^{2}-y^{2},\qquad v = x y.Motivação: as equações que definem a fronteira da região são exatamente u=1,\;u=9,\;v=2,\;v=4. Assim a imagem de \Omega no plano (u,v) é o retângulo R=\{(u,v)\mid 1\le u\le 9,\;2\le v\le 4\}.
  • Para aplicar o teorema da mudança de variáveis preciso justificar que a transformação T:\\ (x,y)\mapsto(u,v)=(x^{2}-y^{2},\,x y)é de classe C^{1} em um conjunto que contém \Omega, que é bijetiva entre \Omega e R e que seu jacobiano não se anula em \Omega. Essas propriedades garantirão (pela Teorema da Função Inversa e pelo teorema de mudança de variáveis) que posso substituir a integral por uma integral em R com o fator |\det D(x,y)/D(u,v)|.

Passo 3

Cálculo do jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} e relação entre dx\,dy e du\,dv.
  • Calcular as derivadas parciais: \frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y,\qquad \frac{\partial v}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=x.
  • O jacobiano de (u,v) em relação a (x,y) é \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\det\begin{pmatrix}2x & -2y\\[4pt] y & x\end{pmatrix} =2x\cdot x -(-2y)\cdot y =2x^{2}+2y^{2}=2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • Assim \left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|=2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).E, invertendo, a relação usada na mudança de variáveis é dx\,dy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv =\frac{1}{\left|\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|}\,du\,dv =\frac{1}{2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\,du\,dv,desde que a jacobiana de (u,v) em relação a (x,y) seja não nula (o que ocorre no nosso domínio, veja passo seguinte).]

Passo 4

Justificativa detalhada da validade da transformação (injetividade, regularidade, inversa).
  • Regularidade: T\) é polinomial nas coordenadas \((x,y)\), logo é \(C^{\infty}\) no primeiro quadrante aberto. O jacobiano calculado é \(2(x^{2}+y^{2})\), que é estritamente positivo para todo \((x,y)\) com \(x>0\) ou \(y>0\). Em particular, em \(\Omega\) (primeiro quadrante sem a origem) tem-se \(2(x^{2}+y^{2})>0\). Pelo Teorema da Função Inversa, \(T\) é localmente difeomorfismo em cada ponto de \(\Omega\). - Injetividade global na primeira quadrante: dado um par \((u,v)\) com \(u\ge 1\) e \(v>0\), podemos resolver explicitamente o sistema \[\begin{cases} u=x^{2}-y^{2},\\[4pt] v=xy. \end{cases}Primeiro, use a identidade (x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}=u^{2}+4v^{2}.Assim x^{2}+y^{2}=\sqrt{u^{2}+4v^{2}}\quad(\text{escolhe-se o sinal positivo pois }x^{2}+y^{2}>0).Em seguida, x^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})}{2}=\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}+u}{2},
y^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})}{2}=\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}-u}{2}.
No nosso retângulo R\] temos \(u\in[1,9] e v\in[2,4], portanto \sqrt{u^{2}+4v^{2}}>u e as quantidades acima são estritamente positivas. Como estamos no primeiro quadrante escolhemos as raízes positivas:
x=\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}+u}{2}},\qquad y=\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}-u}{2}}.
Essas expressões definem a inversa T^{-1} em R; elas são compostas por operações suaves (adição, raiz quadrada sobre argumentos positivos), logo T^{-1} é C^{1} em R. Isso mostra que T é bijetora entre \Omega e R e que ambas as direções são C^{1}.
  • Conclusão: todas as hipóteses do teorema de mudança de variáveis são satisfeitas para a transformação T restrita ao primeiro quadrante contendo \Omega. Portanto a mudança de variáveis é válida e podemos substituir a integral por uma integral em (u,v) usando o fator do jacobiano.]

Passo 5

Transformação da integral e simplificação do integrando.
  • A integral original é \iint_{\Omega}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
  • Substituindo dx\,dy=\dfrac{1}{2(x^{2}+y^{2})}\,du\,dv obtemos (em \Omega onde x^{2}+y^{2}>0) \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy =\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot\frac{1}{2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\,du\,dv =\frac{1}{2}\,du\,dv.Ou seja, o fator \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) se cancela com o jacobiano e a integral fica muito simples.
  • Como a imagem de \Omega é o retângulo R=\{(u,v)\mid 1\le u\le 9,\;2\le v\le 4\}, a integral torna-se \iint_{\Omega}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy =\iint_{R}\frac{1}{2}\,du\,dv.

Passo 6

Cálculo final da integral sobre o retângulo.
  • A integral de uma constante sobre um retângulo é a constante vezes a área do retângulo. A área de R é \bigl(9-1\bigr)\cdot\bigl(4-2\bigr)=8\cdot 2=16.
  • Portanto \iint_{R}\frac{1}{2}\,du\,dv=\frac{1}{2}\cdot 16=8.

Resposta

8

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