Seja \Omega da região plana no 1^{0} quadrante delimitada pelas curvas
x^{2}-y^{2}=1, \quad x^{2}-y^{2}=9, \quad x y=2, \quad x y=4
Calcule
\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y
OBS: se usar o teorema de mudança de coordenadas, justifique com detalhes porque o teorema é válido para a mudança escolhida.
Passo 1
Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A região \Omega é a parte do primeiro quadrante (x>0,\;y>0) limitada pelas curvasx^{2}-y^{2}=1,\qquad x^{2}-y^{2}=9,\qquad x y=2,\qquad x y=4.
O enunciado pede calcular a integral dupla\iint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy.
Observações úteis extraídas do enunciado:
As curvas x^{2}-y^{2}= constante e xy= constante sugerem usar as variáveis \,u=x^{2}-y^{2}\, e \,v=xy\,, pois as fronteiras tornam-se retas em (u,v).
Como estamos no primeiro quadrante, tem-se x>0,\;y>0, o que facilita escolher raízes positivas ao inverter a transformação.
Passo 2
Escolha da mudança de variáveis e motivação didática.
Vou fazer a mudançau = x^{2}-y^{2},\qquad v = x y.Motivação: as equações que definem a fronteira da região são exatamente u=1,\;u=9,\;v=2,\;v=4. Assim a imagem de \Omega no plano (u,v) é o retânguloR=\{(u,v)\mid 1\le u\le 9,\;2\le v\le 4\}.
Para aplicar o teorema da mudança de variáveis preciso justificar que a transformaçãoT:\\ (x,y)\mapsto(u,v)=(x^{2}-y^{2},\,x y)é de classe C^{1} em um conjunto que contém \Omega, que é bijetiva entre \Omega e R e que seu jacobiano não se anula em \Omega. Essas propriedades garantirão (pela Teorema da Função Inversa e pelo teorema de mudança de variáveis) que posso substituir a integral por uma integral em R com o fator |\det D(x,y)/D(u,v)|.
Passo 3
Cálculo do jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} e relação entre dx\,dy e du\,dv.
O jacobiano de (u,v) em relação a (x,y) é\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} =\det\begin{pmatrix}2x & -2y\\[4pt] y & x\end{pmatrix} =2x\cdot x -(-2y)\cdot y =2x^{2}+2y^{2}=2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Assim\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|=2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).E, invertendo, a relação usada na mudança de variáveis édx\,dy=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv =\frac{1}{\left|\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right|}\,du\,dv =\frac{1}{2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\,du\,dv,desde que a jacobiana de (u,v) em relação a (x,y) seja não nula (o que ocorre no nosso domínio, veja passo seguinte).]
Passo 4
Justificativa detalhada da validade da transformação (injetividade, regularidade, inversa).
Regularidade: T\) é polinomial nas coordenadas \((x,y)\), logo é \(C^{\infty}\) no primeiro quadrante aberto. O jacobiano calculado é \(2(x^{2}+y^{2})\), que é estritamente positivo para todo \((x,y)\) com \(x>0\) ou \(y>0\). Em particular, em \(\Omega\) (primeiro quadrante sem a origem) tem-se \(2(x^{2}+y^{2})>0\). Pelo Teorema da Função Inversa, \(T\) é localmente difeomorfismo em cada ponto de \(\Omega\).
- Injetividade global na primeira quadrante: dado um par \((u,v)\) com \(u\ge 1\) e \(v>0\), podemos resolver explicitamente o sistema
\[\begin{cases} u=x^{2}-y^{2},\\[4pt] v=xy. \end{cases}Primeiro, use a identidade(x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}+(2xy)^{2}=u^{2}+4v^{2}.Assimx^{2}+y^{2}=\sqrt{u^{2}+4v^{2}}\quad(\text{escolhe-se o sinal positivo pois }x^{2}+y^{2}>0).Em seguida,x^{2}=\frac{(x^{2}+y^{2})+(x^{2}-y^{2})}{2}=\frac{\sqrt{u^{2}+4v^{2}}+u}{2},
No nosso retângulo R\] temos \(u\in[1,9] e v\in[2,4], portanto \sqrt{u^{2}+4v^{2}}>u e as quantidades acima são estritamente positivas. Como estamos no primeiro quadrante escolhemos as raízes positivas:
Essas expressões definem a inversa T^{-1} em R; elas são compostas por operações suaves (adição, raiz quadrada sobre argumentos positivos), logo T^{-1} é C^{1} em R. Isso mostra que T é bijetora entre \Omega e R e que ambas as direções são C^{1}.
Conclusão: todas as hipóteses do teorema de mudança de variáveis são satisfeitas para a transformação T restrita ao primeiro quadrante contendo \Omega. Portanto a mudança de variáveis é válida e podemos substituir a integral por uma integral em (u,v) usando o fator do jacobiano.]
Passo 5
Transformação da integral e simplificação do integrando.
A integral original é\iint_{\Omega}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Substituindo dx\,dy=\dfrac{1}{2(x^{2}+y^{2})}\,du\,dv obtemos (em \Omega onde x^{2}+y^{2}>0)\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy =\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot\frac{1}{2\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}\,du\,dv =\frac{1}{2}\,du\,dv.Ou seja, o fator \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) se cancela com o jacobiano e a integral fica muito simples.
Como a imagem de \Omega é o retângulo R=\{(u,v)\mid 1\le u\le 9,\;2\le v\le 4\}, a integral torna-se\iint_{\Omega}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy =\iint_{R}\frac{1}{2}\,du\,dv.
Passo 6
Cálculo final da integral sobre o retângulo.
A integral de uma constante sobre um retângulo é a constante vezes a área do retângulo. A área de R é\bigl(9-1\bigr)\cdot\bigl(4-2\bigr)=8\cdot 2=16.