Calcule
, onde
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o segmento de reta de
até
. Informações dadas e o que precisamos:
Os coeficientes da forma diferencial são
Objetivo: avaliar a integral de linha da forma diferencial ao longo do segmento
.
Passo 2
Parametrizamos o segmento de reta de
a
por uma função
com
. A parametrização padrão é
Calculando coordenada a coordenada:
com
. Derivadas (que nos dão
):
Portanto
Passo 3
Lembrete prático (fórmula que vamos usar): para uma forma diferencial
e uma parametrização
com
,
Aqui
são as derivadas das coordenadas; o integrando é a soma dos três termos substituídos na parametrização.
Passo 4
Vamos avaliar cada termo da forma na parametrização.
Primeiro,
. Substituindo
e
:
Segundo,
. Substituindo
,
e
:
Terceiro,
. Substituindo
,
e
:
Agora somamos os três contributions para obter o integrando em função de
:
Simplificando os termos constantes e em
:
logo
Passo 5
Agora calculamos a integral em
de
a
:
Integramos termo a termo (lembre que
):
Somando os resultados:
Colocando em comum denominador
: