Calcule I=\int_{C} y d x+(x+y) d y+x^{2} z d z, onde C é o segmento de reta de A(0,1,1) a B(4,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
I=\int_{C} y\,dx+(x+y)\,dy+x^{2}z\,dz
onde C é o segmento de reta de A(0,1,1) até B(4,2,3). Informações dadas e o que precisamos:
A=(0,1,1),\qquad B=(4,2,3).
Os coeficientes da forma diferencial são
P(x,y,z)=y,\qquad Q(x,y,z)=x+y,\qquad R(x,y,z)=x^{2}z.
Objetivo: avaliar a integral de linha da forma diferencial ao longo do segmento C.

Passo 2

Parametrizamos o segmento de reta de A a B por uma função \mathbf{r}(t) com t\in[0,1]. A parametrização padrão é
\mathbf{r}(t)=A+t(B-A).
Calculando coordenada a coordenada:
x(t)=0+ t(4-0)=4t,
y(t)=1+ t(2-1)=1+t,
z(t)=1+ t(3-1)=1+2t,
com t\in[0,1]. Derivadas (que nos dão dx,dy,dz):
\frac{dx}{dt}=x'(t)=4,\qquad \frac{dy}{dt}=y'(t)=1,\qquad \frac{dz}{dt}=z'(t)=2.
Portanto
dx=4\,dt,\qquad dy=1\,dt,\qquad dz=2\,dt.

Passo 3

Lembrete prático (fórmula que vamos usar): para uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy+R\,dz e uma parametrização (x(t),y(t),z(t)) com t\in[a,b],
\int_{C} P\,dx+Q\,dy+R\,dz=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)\bigr)\,dt.
Aqui x'(t),y'(t),z'(t) são as derivadas das coordenadas; o integrando é a soma dos três termos substituídos na parametrização.

Passo 4

Vamos avaliar cada termo da forma na parametrização.
Primeiro, P(x,y,z)=y. Substituindo y(t)=1+t e dx=4\,dt:
y\,dx=(1+t)\cdot 4\,dt=4(1+t)\,dt.
Segundo, Q(x,y,z)=x+y. Substituindo x(t)=4t, y(t)=1+t e dy=1\,dt:
(x+y)\,dy=(4t+(1+t))\cdot 1\,dt=(1+5t)\,dt.
Terceiro, R(x,y,z)=x^{2}z. Substituindo x(t)=4t, z(t)=1+2t e dz=2\,dt:
x^{2}z=(4t)^{2}(1+2t)=16t^{2}(1+2t)=16t^{2}+32t^{3},
x^{2}z\,dz=\bigl(16t^{2}+32t^{3}\bigr)\cdot 2\,dt=32t^{2}+64t^{3}\,dt.
Agora somamos os três contributions para obter o integrando em função de t:
\text{integrando}=4(1+t)+(1+5t)+(32t^{2}+64t^{3}).
Simplificando os termos constantes e em t:
4(1+t)+(1+5t)=4+4t+1+5t=5+9t,
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\text{integrando}=5+9t+32t^{2}+64t^{3}.

Passo 5

Agora calculamos a integral em t de 0 a 1:
I=\int_{0}^{1}\bigl(5+9t+32t^{2}+64t^{3}\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo (lembre que \int t^{n}dt=\tfrac{t^{n+1}}{n+1}):
\int_{0}^{1}5\,dt=5t\Big|_{0}^{1}=5,
\int_{0}^{1}9t\,dt=\frac{9}{2}t^{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{9}{2},
\int_{0}^{1}32t^{2}\,dt=\frac{32}{3}t^{3}\Big|_{0}^{1}=\frac{32}{3},
\int_{0}^{1}64t^{3}\,dt=\frac{64}{4}t^{4}\Big|_{0}^{1}=16.
Somando os resultados:
I=5+\frac{9}{2}+\frac{32}{3}+16.
Colocando em comum denominador 6:
5=\frac{30}{6},\quad \frac{9}{2}=\frac{27}{6},\quad \frac{32}{3}=\frac{64}{6},\quad 16=\frac{96}{6},
I=\frac{30+27+64+96}{6}=\frac{217}{6}.

Resposta

\displaystyle I=\frac{217}{6}

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