Calcule I=\int_{C} y^{2} d x-x y d y, onde C é a parábola de equação y=x^{2} e onde 0 \leq x \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
I=\int_{C} y^{2}\,dx - x y\,dy
onde C é a parábola de equação y=x^{2} com 0\le x\le 1.
Informações importantes dadas:
A curva C é o arco da parábola y=x^{2} para x variando de 0 até 1.
A orientação implícita é no sentido de x crescendo (de 0 para 1).
A integral é do tipo \int_C P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=-xy.
Passo 2
Escolhemos uma parametrização conveniente da curva C. Como a curva é dada por y=x^{2}, uma parametrização natural é usar x como parâmetro:
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2},\qquad t\in[0,1].
Explicação da regra que vamos usar (fórmula fundamental para integrais de linha de 1-forma): se C tem parametrização (x(t),y(t)) para t\in[a,b] e queremos calcular
\int_C P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy,
então substituímos x=x(t), y=y(t), dx=x'(t)\,dt, dy=y'(t)\,dt e obtemos a integral em t:
Aqui x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t e y'(t) é a derivada de y(t) em relação a t. Essa fórmula vem diretamente da substituição diferencial dx=x'(t)\,dt, dy=y'(t)\,dt.