Calcule I=\int_{C} y^{2} d x-x y d y, onde C é a parábola de equação y=x^{2} e onde 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
I=\int_{C} y^{2}\,dx - x y\,dy
onde C é a parábola de equação y=x^{2} com 0\le x\le 1.
Informações importantes dadas:
  • A curva C é o arco da parábola y=x^{2} para x variando de 0 até 1.
  • A orientação implícita é no sentido de x crescendo (de 0 para 1).
  • A integral é do tipo \int_C P\,dx + Q\,dy com P(x,y)=y^{2} e Q(x,y)=-xy.

Passo 2

Escolhemos uma parametrização conveniente da curva C. Como a curva é dada por y=x^{2}, uma parametrização natural é usar x como parâmetro:
x(t)=t,\qquad y(t)=t^{2},\qquad t\in[0,1].
Explicação da regra que vamos usar (fórmula fundamental para integrais de linha de 1-forma): se C tem parametrização (x(t),y(t)) para t\in[a,b] e queremos calcular
\int_C P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy,
então substituímos x=x(t), y=y(t), dx=x'(t)\,dt, dy=y'(t)\,dt e obtemos a integral em t:
\int_a^b \big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Aqui x'(t) é a derivada de x(t) em relação a t e y'(t) é a derivada de y(t) em relação a t. Essa fórmula vem diretamente da substituição diferencial dx=x'(t)\,dt, dy=y'(t)\,dt.

Passo 3

Calculemos dx e dy para nossa parametrização:
x'(t)=\frac{d}{dt}t=1\quad\Rightarrow\quad dx = 1\cdot dt = dt,
y'(t)=\frac{d}{dt}t^{2}=2t\quad\Rightarrow\quad dy = 2t\,dt.
Agora substituímos x(t)=t, y(t)=t^{2}, dx e dy na integranda y^{2}\,dx - x y\,dy. Primeiro avaliamos P e Q na parametrização:
P(x(t),y(t)) = y(t)^{2} = (t^{2})^{2} = t^{4},
Q(x(t),y(t)) = -x(t)y(t) = -t\cdot t^{2} = -t^{3}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da Passo 2:
I=\int_{0}^{1}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t) + Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
Substituindo os valores calculados:
I=\int_{0}^{1}\big(t^{4}\cdot 1 + (-t^{3})\cdot(2t)\big)\,dt.
Simplificando a integranda passo a passo:
(-t^{3})\cdot(2t) = -2t^{4},
então
t^{4} + (-2t^{4}) = -t^{4}.
Logo a integral fica
I=\int_{0}^{1} -t^{4}\,dt.

Passo 5

Integrando usando a regra do poder (antiderivada de t^{n} é \dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1):
\int -t^{4}\,dt = -\frac{t^{5}}{5}.
Avaliando de 0 a 1:
I = \left.-\frac{t^{5}}{5}\right|_{0}^{1} = -\frac{1^{5}}{5} - \left(-\frac{0^{5}}{5}\right) = -\frac{1}{5}.
Comentário rápido: se a orientação fosse a contrária (de 1 para 0) o sinal inverteria; sempre verificar a orientação da parametrização.

Resposta

-\dfrac{1}{5}

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