Calcule I=\int_{C}(y-2 x) d x+x d y+\left(x^{2}+z\right) d z, onde a curva C é composta pelos segmentos de reta de A(0,0,0) a B(0,0,1) e de B(0,0,1) a D(1,2,3).
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule
I=\int_{C}(y-2x)\,dx+x\,dy+(x^{2}+z)\,dz,
onde a curva C é formada por dois segmentos de reta: de A(0,0,0) até B(0,0,1) e de B(0,0,1) até D(1,2,3).
Informações dadas que vou usar:
A=(0,0,0),\qquad B=(0,0,1),\qquad D=(1,2,3).
O que se pede: o valor numérico do integral de linha I ao longo de C.
Passo 2
Breve explicação do método e por que vou usá-lo (passo-a-passo didático): a integral dada é uma integral de linha de uma 1-forma \omega=(y-2x)\,dx+x\,dy+(x^{2}+z)\,dz. Dois caminhos comuns para calcular são: (i) tentar encontrar uma função potencial f tal que df=\omega (então usar f nos pontos finais por Teorema Fundamental); ou (ii) parametrizar cada segmento e integrar diretamente. Vou checar se \omega é exata (possui potencial). Para isso comparo derivadas cruzadas das componentes: as componentes são
Como 0\neq 2x em geral, a 1-forma não é exata no domínio onde x varia (só seria exata se x\equiv0). Nosso caminho passa por pontos com x\neq0 (por exemplo D tem x=1), logo não podemos usar um potencial global e preciso parametrizar cada segmento e integrar diretamente. Isso também você pode aplicar na prova: sempre verificar integrabilidade rápida; se falhar, parametrize.
Passo 3
Parametrização do segmento AB (de A(0,0,0) a B(0,0,1)) e cálculo da integral neste trecho. Uma parametrização natural é