Calcule I=\int_{C}(y-2 x) d x+x d y+\left(x^{2}+z\right) d z, onde a curva C é composta pelos segmentos de reta de A(0,0,0) a B(0,0,1) e de B(0,0,1) a D(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule
I=\int_{C}(y-2x)\,dx+x\,dy+(x^{2}+z)\,dz,
onde a curva C é formada por dois segmentos de reta: de A(0,0,0) até B(0,0,1) e de B(0,0,1) até D(1,2,3).
Informações dadas que vou usar:
A=(0,0,0),\qquad B=(0,0,1),\qquad D=(1,2,3).
O que se pede: o valor numérico do integral de linha I ao longo de C.

Passo 2

Breve explicação do método e por que vou usá-lo (passo-a-passo didático): a integral dada é uma integral de linha de uma 1-forma \omega=(y-2x)\,dx+x\,dy+(x^{2}+z)\,dz. Dois caminhos comuns para calcular são: (i) tentar encontrar uma função potencial f tal que df=\omega (então usar f nos pontos finais por Teorema Fundamental); ou (ii) parametrizar cada segmento e integrar diretamente. Vou checar se \omega é exata (possui potencial). Para isso comparo derivadas cruzadas das componentes: as componentes são
P(x,y,z)=y-2x,\quad Q(x,y,z)=x,\quad R(x,y,z)=x^{2}+z,
onde \omega = P\,dx+Q\,dy+R\,dz. Condições de integrabilidade (simples) exigem, por exemplo,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculo:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(y-2x)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,
essas coincidem. Mas também preciso checar
\frac{\partial P}{\partial z}\stackrel{?}{=}\frac{\partial R}{\partial x}.
Calculo:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(y-2x)=0, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+z)=2x.
Como 0\neq 2x em geral, a 1-forma não é exata no domínio onde x varia (só seria exata se x\equiv0). Nosso caminho passa por pontos com x\neq0 (por exemplo D tem x=1), logo não podemos usar um potencial global e preciso parametrizar cada segmento e integrar diretamente. Isso também você pode aplicar na prova: sempre verificar integrabilidade rápida; se falhar, parametrize.

Passo 3

Parametrização do segmento AB (de A(0,0,0) a B(0,0,1)) e cálculo da integral neste trecho. Uma parametrização natural é
\mathbf{r}_1(t)=(0,0,t),\qquad t\in[0,1].
Daí
x(t)=0,\quad y(t)=0,\quad z(t)=t,
e
dx=0,\quad dy=0,\quad dz=dt.
Substituo na expressão da 1-forma termo a termo:
(y-2x)\,dx = (0-0)\cdot 0 = 0,
x\,dy = 0\cdot 0 = 0,
(x^{2}+z)\,dz = (0^{2}+t)\,dt = t\,dt.
Portanto a integral sobre AB é
\int_{AB}\omega = \int_{0}^{1} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Anota aí: contribuição do primeiro segmento = \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Parametrização do segmento BD (de B(0,0,1) a D(1,2,3)) e cálculo da integral. Vetor de B para D é
D-B=(1,2,2).
Uma parametrização por s\in[0,1] é
\mathbf{r}_2(s)=(0,0,1)+s(1,2,2)=(s,2s,1+2s).
Logo
x(s)=s,\quad y(s)=2s,\quad z(s)=1+2s,
e
dx=ds,\quad dy=2\,ds,\quad dz=2\,ds.
Agora calculo cada termo da 1-forma substituindo:
  1. (y-2x)\,dx = (2s-2s)\,ds = 0. (bons resultados quando dá zero, respira!)
  2. x\,dy = s\cdot(2\,ds)=2s\,ds.
  3. x^{2}+z = s^{2}+(1+2s)=s^{2}+2s+1=(s+1)^{2}. Então
(x^{2}+z)\,dz = (s^{2}+2s+1)\cdot(2\,ds)=2(s^{2}+2s+1)\,ds.
Somando as parcelas, o elemento a integrar ao longo de BD é
2s\,ds + 2(s^{2}+2s+1)\,ds = \big(2s^{2}+6s+2\big)\,ds.
Integro de s=0 a s=1:
\int_{0}^{1}\big(2s^{2}+6s+2\big)\,ds = \left[\frac{2s^{3}}{3}+3s^{2}+2s\right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}+3+2 = \frac{2}{3}+5 = \frac{17}{3}.
Portanto a contribuição do segundo segmento BD é \dfrac{17}{3}.

Passo 5

Somando as contribuições dos dois trechos, a integral total sobre C é
I=\int_{AB}\omega+\int_{BD}\omega=\frac{1}{2}+\frac{17}{3}.
Faço a soma com denominador comum 6:
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{17}{3}=\frac{34}{6},
logo
I=\frac{3}{6}+\frac{34}{6}=\frac{37}{6}.

Resposta

\dfrac{37}{6}

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