Exercício 1.3 Se o gerador de função do Exercício 1.2 for ajustado para v_{\text {gerador }}(t)= 5 \cos (100 t) u(t). Qual será a resposta da corrente da carga no domínio do tempo (transitório + regime permanente).
Passo 1
O enunciado pede: “Se o gerador do Exercício 1.2 for ajustado para v_{\text{gerador}}(t)=5\cos(100t)\,u(t). Qual será a resposta da corrente da carga no domínio do tempo (transitório + regime permanente).”
Informações que o enunciado dá explicitamente:
A fonte de tensão é v_{\text{gerador}}(t)=5\cos(100t)\,u(t) (amplitude 5, pulsação \omega=100, ligada em t=0 pelo fator u(t)).
Informações que faltam e são necessárias para resolver numericamente o problema:
A topologia do circuito (por exemplo: série RLC, paralelo RLC, RL série, RC, carga puramente resistiva, etc.).
Os valores dos elementos do circuito (resistência R, indutância L, capacitância C, ou impedância geral da carga).
Condições iniciais no instante t=0^- / t=0^+ (tensão inicial no capacitor v_C(0^+), corrente inicial no indutor i_L(0^+)), se existirem.
Sem esses dados não é possível fornecer a expressão numérica final de i(t). Abaixo eu explico passo a passo o método completo, didático, que você deve aplicar assim que souber a topologia e os valores do Exercício 1.2.
Passo 2
Ideia geral do método (visão de alto nível, passo a passo que você deve aplicar na prova):
Modelar o circuito e escrever a impedância ou função de transferência relevante.
Fazer a transformada de Laplace da tensão de entrada v(t) (já que temos um produto de seno/cosseno por u(t), Laplace é muito prático).
Obter I(s) como I(s)=V(s)\cdot H(s), onde H(s) é a função que relaciona a tensão à corrente no domínio s (por ex. H(s)=1/Z(s) se a corrente atravessa uma impedância Z(s)).
Fazer divisão parcial / decomposição em frações simples para inverter a transformada de Laplace e separar termos de regime natural (transitório) e forçado (regime permanente).
Alternativamente, para o regime permanente usar o método fasorial (avaliar a impedância em s=j\omega) para obter diretamente a corrente forçada, e somar o transiente obtido pela solução da equação homogênea.
Vou agora ensinar cada uma dessas etapas detalhadamente, com as fórmulas e explicações que você precisa saber para aplicar na prova.
Passo 3
Laplace da fonte (fórmula que você sempre precisará aqui)
A transformada de Laplace de \cos(\omega t)\,u(t) é \displaystyle \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\,u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Como obter I(s) a partir de V(s) (situação genérica lin. tempo-invariante)
Para um circuito linear que relaciona tensão e corrente por uma impedância Z(s), vale
\displaystyle I(s)=\frac{V(s)}{Z(s)}.
Para circuitos em que a corrente pela carga é dada por uma função de transferência H(s) (por exemplo se a fonte não está diretamente em série com a carga), vale
\displaystyle I(s)=V(s)\,H(s).
Portanto, depois de identificar Z(s) ou H(s) a partir do circuito do Exercício 1.2, substitua V(s) acima e obtenha I(s).
Passo 5
Exemplo de Z(s) para os circuitos mais comuns (para você reconhecer no enunciado)
Série R\!-\!L\!-\!C:
\displaystyle Z(s)=R+L s+\frac{1}{C s}.
Paralelo R\parallel L\parallel C (impedância equivalente):
\displaystyle Y(s)=\frac{1}{Z(s)}=\frac{1}{R}+\frac{1}{L s}+C s.
Série R\!-\!L (sem capacitor):
\displaystyle Z(s)=R+L s.
Série R\!-\!C (sem indutor):
\displaystyle Z(s)=R+\frac{1}{C s}.
Reconheça qual é o caso do Exercício 1.2 e substitua os valores.
Passo 6
Forma geral de I(s) e polos que determinam transiente vs. regime permanente
A expressão I(s) vai ter, em geral, fatores no denominador que vêm de:
Polos naturais do circuito (raízes do polinômio característico, derivados de Z(s) ou do denominador de H(s)). Esses polos dão termos exponenciais e^{s_n t} no tempo (o transitório).
Polos da entrada V(s) em s=\pm j\omega (aqui \pm j100). Esses polos dão a resposta forçada à frequência \omega (regime permanente).
onde P(s) é o polinômio do circuito. Ao decompor em frações simples, os termos associados às raízes de P(s) viram exponenciais (transitório) e os termos associados a s=\pm j100 resultam em cosseno/seno (regime permanente).
Passo 7
Como usar a técnica fasorial para obter diretamente o regime permanente (muito prático na prova)
No regime permanente senoidal de frequência \omega, substitui-se s=j\omega.
A fasor da tensão de entrada é \displaystyle \tilde{V}=5\angle 0^\circ.
A impedância complexa na frequência \omega (para série R\!-\!L\!-\!C) é
Se \Bigl(\dfrac{R}{2L}\Bigr)^{2}>\dfrac{1}{LC} — raízes reais distintas: resposta a soma de exponenciais reais.
Se igualdade — raízes reais iguais: resposta crítica (termo t e^{-at}).
Se \Bigl(\dfrac{R}{2L}\Bigr)^{2}<\dfrac{1}{LC} — conjugadas complexas: resposta subamortecida, do tipo
\displaystyle i_{tr}(t)=A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d} t-\theta),com \displaystyle \alpha=\frac{R}{2L} e \displaystyle \omega_{d}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\alpha^{2}}.
As constantes A e \theta (ou os coeficientes das exponenciais) são determinadas pelas condições iniciais i(0^+) e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}, que por sua vez dependem de i_L(0^-), v_C(0^-) e do comportamento do circuito imediatamente após a comutação.
Passo 9
Como obter as constantes do transitório (receita para a prova)
Passo 1: calcule i(0^+). Se antes de t=0 a fonte estava desligada e o circuito estava em repouso, então i(0^+)=0 e v_C(0^+)=0 são hipóteses comuns; mas sempre confirme com o enunciado.
Passo 2: encontre \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+} usando a equação do circuito no instante 0^+. Por exemplo, para série R\!-\!L\!-\!C aplicando Kirchhoff em t=0^+:
com \alpha=\dfrac{R}{2L}, \omega_{d}=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\alpha^{2}}. As constantes A e \theta obtêm-se a partir de i(0^+) e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}.
Passo 11
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como fica um cálculo completo)
Suponha, só como exemplo, que o circuito do Exercício 1.2 seja série com R=10\\ \Omega, L=0{,}1\\ \mathrm{H} e C=100\\ \mu\mathrm{F}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, e que o circuito esteja em repouso em t=0^- (ou seja i(0^+)=0, v_C(0^+)=0). Isto é apenas um exemplo — substitua pelos valores reais do seu exercício.
Calcule (passos rápidos):
\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}1\cdot100\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-5}}}=10^{2{,}5} (aqui você faria o cálculo numérico com cuidado).
\alpha=\dfrac{R}{2L}=\dfrac{10}{2\cdot0{,}1}=50.
Compare \alpha e \omega_0 para ver se dá subamortecido etc., obtenha \omega_d.
Calcule Z(j100)=R+j(100L-1/(100C)), compute magnitude e fase, logo i_{ss}(t).
Calcule i_{tr}(t) usando i(0^+)=0 e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}=\dfrac{5}{L} (se i(0^+)=0 e v_C(0^+)=0) e ajuste constantes.
Se você me fornecer os valores reais do Exercício 1.2 eu faço esse cálculo completo passo a passo para esses números.
Passo 12
Resumo prático para aplicar rápido na prova (checklist)
Identifique a topologia e escreva Z(s) ou H(s).
Escreva V(s)=5\cdot\dfrac{s}{s^{2}+10000}.
Calcule I(s)=V(s)/Z(s) (ou V(s)\,H(s)).
Faça decomposição em frações parciais; se preferir, ache o regime permanente por fasores (substituir s=j100).
Encontre os polos naturais (raízes de P(s)) e escreva o termo transitório correspondente.
Use as condições iniciais para determinar constantes do transitório.
Some transitório + regime permanente e verifique continuidade em t=0^+.
Resposta
Não é possível determinar numericamente i(t) sem a topologia do circuito e os valores dos elementos (por exemplo R, L, C) e as condições iniciais do Exercício 1.2. Substitua esses dados no procedimento descrito acima para obter a resposta completa (transitório + regime permanente).