Exercício 1.3 Se o gerador de função do Exercício 1.2 for ajustado para v_{\text {gerador }}(t)= 5 \cos (100 t) u(t). Qual será a resposta da corrente da carga no domínio do tempo (transitório + regime permanente).

Passo 1

O enunciado pede: “Se o gerador do Exercício 1.2 for ajustado para v_{\text{gerador}}(t)=5\cos(100t)\,u(t). Qual será a resposta da corrente da carga no domínio do tempo (transitório + regime permanente).”
Informações que o enunciado dá explicitamente:
  • A fonte de tensão é v_{\text{gerador}}(t)=5\cos(100t)\,u(t) (amplitude 5, pulsação \omega=100, ligada em t=0 pelo fator u(t)).
Informações que faltam e são necessárias para resolver numericamente o problema:
  • A topologia do circuito (por exemplo: série RLC, paralelo RLC, RL série, RC, carga puramente resistiva, etc.).
  • Os valores dos elementos do circuito (resistência R, indutância L, capacitância C, ou impedância geral da carga).
  • Condições iniciais no instante t=0^- / t=0^+ (tensão inicial no capacitor v_C(0^+), corrente inicial no indutor i_L(0^+)), se existirem.
    Sem esses dados não é possível fornecer a expressão numérica final de i(t). Abaixo eu explico passo a passo o método completo, didático, que você deve aplicar assim que souber a topologia e os valores do Exercício 1.2.

Passo 2

Ideia geral do método (visão de alto nível, passo a passo que você deve aplicar na prova):
  1. Modelar o circuito e escrever a impedância ou função de transferência relevante.
  2. Fazer a transformada de Laplace da tensão de entrada v(t) (já que temos um produto de seno/cosseno por u(t), Laplace é muito prático).
  3. Obter I(s) como I(s)=V(s)\cdot H(s), onde H(s) é a função que relaciona a tensão à corrente no domínio s (por ex. H(s)=1/Z(s) se a corrente atravessa uma impedância Z(s)).
  4. Fazer divisão parcial / decomposição em frações simples para inverter a transformada de Laplace e separar termos de regime natural (transitório) e forçado (regime permanente).
  5. Alternativamente, para o regime permanente usar o método fasorial (avaliar a impedância em s=j\omega) para obter diretamente a corrente forçada, e somar o transiente obtido pela solução da equação homogênea.
Vou agora ensinar cada uma dessas etapas detalhadamente, com as fórmulas e explicações que você precisa saber para aplicar na prova.

Passo 3

Laplace da fonte (fórmula que você sempre precisará aqui)
  • A transformada de Laplace de \cos(\omega t)\,u(t) é \displaystyle \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\,u(t)\}=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
  • Como a amplitude é 5 e \omega=100, temos
\displaystyle V(s)=\mathcal{L}\{5\cos(100t)\,u(t)\}=5\cdot\frac{s}{s^{2}+100^{2}}=5\cdot\frac{s}{s^{2}+10000}.
Guarde essa expressão — é a entrada no domínio s.

Passo 4

Como obter I(s) a partir de V(s) (situação genérica lin. tempo-invariante)
  • Para um circuito linear que relaciona tensão e corrente por uma impedância Z(s), vale
\displaystyle I(s)=\frac{V(s)}{Z(s)}.
  • Para circuitos em que a corrente pela carga é dada por uma função de transferência H(s) (por exemplo se a fonte não está diretamente em série com a carga), vale
\displaystyle I(s)=V(s)\,H(s).
Portanto, depois de identificar Z(s) ou H(s) a partir do circuito do Exercício 1.2, substitua V(s) acima e obtenha I(s).

Passo 5

Exemplo de Z(s) para os circuitos mais comuns (para você reconhecer no enunciado)
  • Série R\!-\!L\!-\!C:
\displaystyle Z(s)=R+L s+\frac{1}{C s}.
  • Paralelo R\parallel L\parallel C (impedância equivalente):
\displaystyle Y(s)=\frac{1}{Z(s)}=\frac{1}{R}+\frac{1}{L s}+C s.
  • Série R\!-\!L (sem capacitor):
\displaystyle Z(s)=R+L s.
  • Série R\!-\!C (sem indutor):
\displaystyle Z(s)=R+\frac{1}{C s}.
Reconheça qual é o caso do Exercício 1.2 e substitua os valores.

Passo 6

Forma geral de I(s) e polos que determinam transiente vs. regime permanente
  • A expressão I(s) vai ter, em geral, fatores no denominador que vêm de:
    • Polos naturais do circuito (raízes do polinômio característico, derivados de Z(s) ou do denominador de H(s)). Esses polos dão termos exponenciais e^{s_n t} no tempo (o transitório).
    • Polos da entrada V(s) em s=\pm j\omega (aqui \pm j100). Esses polos dão a resposta forçada à frequência \omega (regime permanente).
  • Logo a estrutura típica de I(s) é algo como
\displaystyle I(s)=\frac{N(s)}{(s^{2}+10000)\cdot P(s)},
onde P(s) é o polinômio do circuito. Ao decompor em frações simples, os termos associados às raízes de P(s) viram exponenciais (transitório) e os termos associados a s=\pm j100 resultam em cosseno/seno (regime permanente).

Passo 7

Como usar a técnica fasorial para obter diretamente o regime permanente (muito prático na prova)
  • No regime permanente senoidal de frequência \omega, substitui-se s=j\omega.
  • A fasor da tensão de entrada é \displaystyle \tilde{V}=5\angle 0^\circ.
  • A impedância complexa na frequência \omega (para série R\!-\!L\!-\!C) é
\displaystyle Z(j\omega)=R+j\bigl(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}\bigr).
  • A fasor da corrente é
\displaystyle \tilde{I}=\frac{\tilde{V}}{Z(j\omega)}=\frac{5\angle 0^\circ}{Z(j100)}.
  • A corrente no tempo no regime permanente é
\displaystyle i_{ss}(t)=\Re\{\tilde{I}\,e^{j\omega t}\}=\frac{5}{|Z(j100)|}\cos\bigl(100t+\arg(\tilde{I})\bigr),
onde \arg(\tilde{I})=-\arg(Z(j100)). Para um caso série R\!-\!L\!-\!C,
\displaystyle |Z(j100)|=\sqrt{R^{2}+\bigl(100L-\tfrac{1}{100C}\bigr)^{2}}, \qquad \displaystyle \arg(Z(j100))=\arctan\!\left(\frac{100L-\tfrac{1}{100C}}{R}\right).
Assim você obtém imediatamente amplitude e defasagem do regime permanente.

Passo 8

Como obter o transitório (resposta natural) com detalhe didático
  • Escreva a equação característica do circuito. Por exemplo, para série R\!-\!L\!-\!C a equação característica (quando a entrada é zerada) é
\displaystyle s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0.
  • As raízes são
\displaystyle s_{1,2}=-\frac{R}{2L}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{R}{2L}\Bigr)^{2}-\frac{1}{LC}}.
  • Interpretações:
    • Se \Bigl(\dfrac{R}{2L}\Bigr)^{2}>\dfrac{1}{LC} — raízes reais distintas: resposta a soma de exponenciais reais.
    • Se igualdade — raízes reais iguais: resposta crítica (termo t e^{-at}).
    • Se \Bigl(\dfrac{R}{2L}\Bigr)^{2}<\dfrac{1}{LC} — conjugadas complexas: resposta subamortecida, do tipo
    \displaystyle i_{tr}(t)=A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d} t-\theta),com \displaystyle \alpha=\frac{R}{2L} e \displaystyle \omega_{d}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\alpha^{2}}.
  • As constantes A e \theta (ou os coeficientes das exponenciais) são determinadas pelas condições iniciais i(0^+) e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}, que por sua vez dependem de i_L(0^-), v_C(0^-) e do comportamento do circuito imediatamente após a comutação.

Passo 9

Como obter as constantes do transitório (receita para a prova)
  • Passo 1: calcule i(0^+). Se antes de t=0 a fonte estava desligada e o circuito estava em repouso, então i(0^+)=0 e v_C(0^+)=0 são hipóteses comuns; mas sempre confirme com o enunciado.
  • Passo 2: encontre \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+} usando a equação do circuito no instante 0^+. Por exemplo, para série R\!-\!L\!-\!C aplicando Kirchhoff em t=0^+:
\displaystyle L\left.\frac{di}{dt}\right|_{0^+}+R i(0^+)+v_C(0^+)=v_{\text{gerador}}(0^+)=5\cos(0)=5.
Assim
\displaystyle \left.\frac{di}{dt}\right|_{0^+}=\frac{5-R i(0^+)-v_C(0^+)}{L}.
  • Com i(0^+) e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+} você resolve para os coeficientes das exponenciais ou para A e \theta do termo amortecido.

Passo 10

Montagem da solução completa (forma final que você deve apresentar na prova)
  • A solução no tempo é a soma do transitório e do regime permanente:
\displaystyle i(t)=i_{tr}(t)+i_{ss}(t),
onde i_{ss}(t) vem do método fasorial (Passo 7) e i_{tr}(t) vem da resolução da equação homogênea com as constantes determinadas no Passo 9.
  • Em concreto, para o caso subamortecido série R\!-\!L\!-\!C e condições iniciais típicas, a forma será
\displaystyle i(t)=A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d} t-\theta)+\frac{5}{|Z(j100)|}\cos\bigl(100t-\arg(Z(j100))\bigr),
com \alpha=\dfrac{R}{2L}, \omega_{d}=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\alpha^{2}}. As constantes A e \theta obtêm-se a partir de i(0^+) e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}.

Passo 11

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como fica um cálculo completo)
  • Suponha, só como exemplo, que o circuito do Exercício 1.2 seja série com R=10\\ \Omega, L=0{,}1\\ \mathrm{H} e C=100\\ \mu\mathrm{F}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, e que o circuito esteja em repouso em t=0^- (ou seja i(0^+)=0, v_C(0^+)=0). Isto é apenas um exemplo — substitua pelos valores reais do seu exercício.
  • Calcule (passos rápidos):
    • \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{\sqrt{0{,}1\cdot100\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10^{-5}}}=10^{2{,}5} (aqui você faria o cálculo numérico com cuidado).
    • \alpha=\dfrac{R}{2L}=\dfrac{10}{2\cdot0{,}1}=50.
    • Compare \alpha e \omega_0 para ver se dá subamortecido etc., obtenha \omega_d.
    • Calcule Z(j100)=R+j(100L-1/(100C)), compute magnitude e fase, logo i_{ss}(t).
    • Calcule i_{tr}(t) usando i(0^+)=0 e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}=\dfrac{5}{L} (se i(0^+)=0 e v_C(0^+)=0) e ajuste constantes.
  • Se você me fornecer os valores reais do Exercício 1.2 eu faço esse cálculo completo passo a passo para esses números.

Passo 12

Resumo prático para aplicar rápido na prova (checklist)
  1. Identifique a topologia e escreva Z(s) ou H(s).
  2. Escreva V(s)=5\cdot\dfrac{s}{s^{2}+10000}.
  3. Calcule I(s)=V(s)/Z(s) (ou V(s)\,H(s)).
  4. Faça decomposição em frações parciais; se preferir, ache o regime permanente por fasores (substituir s=j100).
  5. Encontre os polos naturais (raízes de P(s)) e escreva o termo transitório correspondente.
  6. Use as condições iniciais para determinar constantes do transitório.
  7. Some transitório + regime permanente e verifique continuidade em t=0^+.

Resposta

Não é possível determinar numericamente i(t) sem a topologia do circuito e os valores dos elementos (por exemplo R, L, C) e as condições iniciais do Exercício 1.2. Substitua esses dados no procedimento descrito acima para obter a resposta completa (transitório + regime permanente).

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