Calcule f(x) em que f(x) é igual a \frac{\cos x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a definição da função f e pede para "calcular f(x)". As informações fornecidas são:
  • A função é dada por f(x)=\frac{\cos x}{x^{2}+1}.
O que se pede (explicitamente) é apresentar/avaliar essa função f(x). Vou, passo a passo, explicar o que isso significa, quais são as propriedades básicas que se pode “calcular” imediatamente (domínio, valor em pontos, paridade, limite no infinito, derivada) e então escrever a expressão final de f(x).

Passo 2

Domínio da função: precisamos verificar para quais x a expressão \dfrac{\cos x}{x^{2}+1} faz sentido. O denominador é x^{2}+1. Note que para todo x\in\mathbb{R} tem-se x^{2}\ge 0, logo x^{2}+1 \ge 1>0.
Portanto o denominador nunca é zero e a função está bem definida para todo número real. Conclusão: o domínio é \mathbb{R} (todos os reais).

Passo 3

Continuidade e diferenciação básica (intuição): a função \cos x é contínua e infinitamente diferenciável em \mathbb{R}. O polinômio x^{2}+1 também é contínuo e nunca nulo. Uma razão de funções contínuas com denominador não nulo é contínua; com funções diferenciáveis e denominador não nulo, a razão é diferenciável. Logo f é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Paridade (simetria) da função: verificar se f é par, ímpar ou nenhum. Calculemos f(-x):
f(-x)=\frac{\cos(-x)}{(-x)^{2}+1}=\frac{\cos x}{x^{2}+1}=f(x),
pois \cos é função par e x^{2}+1 também. Portanto f é uma função par: \forall x,\; f(-x)=f(x).

Passo 5

Valores em pontos simples e comportamento no infinito:
  • Em x=0: f(0)=\frac{\cos 0}{0^{2}+1}=\frac{1}{1}=1.
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)}{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}+1}=\frac{0}{\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}+1}=0.
  • Em x=\pi: f(\pi)=\frac{\cos\pi}{\pi^{2}+1}=\frac{-1}{\pi^{2}+1}.
Limite quando x\to\infty: como |\cos x|\le 1, tem-se \left|f(x)\right|=\left|\frac{\cos x}{x^{2}+1}\right|\le\frac{1}{x^{2}+1}.
E \dfrac{1}{x^{2}+1}\to 0 quando x\to\pm\infty. Pelo critério do aperto (squeeze), \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.

Passo 6

Derivada de f (como calcular passo a passo usando regra do quociente): se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=\cos x e v(x)=x^{2}+1, a regra do quociente diz que
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Calculemos u' e v':
u'(x) = -\sin x,\qquad v'(x)=2x.
Substituindo:
f'(x)=\frac{(-\sin x)(x^{2}+1)-(\cos x)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Podemos escrever de forma mais compacta:
f'(x)=-\frac{(x^{2}+1)\sin x + 2x\cos x}{(x^{2}+1)^{2}}.
Isto dá a taxa de variação de f em qualquer ponto x.

Passo 7

Resumo interpretativo e resultado final: juntando tudo, a função pedida está explicitamente dada por f(x)=\frac{\cos x}{x^{2}+1},
com domínio \mathbb{R}, é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}, é par, tem f(0)=1, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 e derivada dada por f'(x)=-\frac{(x^{2}+1)\sin x + 2x\cos x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

f(x)=\frac{\cos x}{x^{2}+1}

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