Calcule
em que
é igual a
Passo 1
O enunciado dá a função
igual a
. Vou deixar claro o que se pede e o que temos:
- Função dada:
. Aqui vou usar a notação trigonométrica em LaTeX: equivale a . - Domínio natural: todos os
tais que (ou seja, , ), porque . - Objetivo: calcular a derivada
(isto é o que se entende por "Calcule " neste contexto: obter a expressão da derivada).
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto é
Explicando devagar: a derivada do produto soma “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” mais “manter a primeira e derivar a segunda”. É uma receita direta que se usa sempre que a função é produto de duas partes.
Passo 3
Precisamos também da derivada de
. Vou derivá-la a partir de
usando a regra do quociente. Se
, então
Aplicando com
e
:
-
, -
.
Logo
Usando a notação
, obtemos a forma clássica
Passo 4
Agora aplico a regra do produto a
. Identifico:
-
então . -
então (do passo anterior).
Pela regra do produto,
Simplificando,
Passo 5
Opcionalmente posso escrever
em termos de
e
e colocar numa única fração, para quem prefere essa forma:
Lembrando que essa forma também exige
.
Passo 6
Um exemplo numérico rápido para firmar a ideia: em
tem-se
e
. Logo
Isso mostra como avaliar a expressão da derivada em um ponto concreto.