Calcule f(x) em que f(x) é igual a x \operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) igual a x\operatorname{cotg}x. Vou deixar claro o que se pede e o que temos:
  • Função dada: f(x)=x\operatorname{cotg}x. Aqui vou usar a notação trigonométrica em LaTeX: \operatorname{cotg}x equivale a \cot x.
  • Domínio natural: todos os x tais que \sin x \neq 0 (ou seja, x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}), porque \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Objetivo: calcular a derivada f'(x) (isto é o que se entende por "Calcule f(x)" neste contexto: obter a expressão da derivada).

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
(uv)'=u'v+uv'.
Explicando devagar: a derivada do produto soma “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” mais “manter a primeira e derivar a segunda”. É uma receita direta que se usa sempre que a função é produto de duas partes.

Passo 3

Precisamos também da derivada de \cot x. Vou derivá-la a partir de \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} usando a regra do quociente. Se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aplicando com u(x)=\cos x e v(x)=\sin x:
  • u'(x)=-\sin x,
  • v'(x)=\cos x.
    Logo
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big) =\frac{(-\sin x)\sin x-(\cos x)\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x} =\frac{-1}{\sin^2 x}.
Usando a notação \csc x=\dfrac{1}{\sin x}, obtemos a forma clássica
\frac{d}{dx}\big(\cot x\big)=-\csc^2 x.

Passo 4

Agora aplico a regra do produto a f(x)=x\cot x. Identifico:
  • u(x)=x então u'(x)=1.
  • v(x)=\cot x então v'(x)=-\csc^2 x (do passo anterior).
    Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=1\cdot\cot x + x\cdot(-\csc^2 x).
Simplificando,
f'(x)=\cot x - x\csc^2 x.

Passo 5

Opcionalmente posso escrever f'(x) em termos de \sin e \cos e colocar numa única fração, para quem prefere essa forma:
\cot x-\xspace x\csc^2 x=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{x}{\sin^2 x} =\frac{\sin x\cos x - x}{\sin^2 x}.
Lembrando que essa forma também exige \sin x\neq0.

Passo 6

Um exemplo numérico rápido para firmar a ideia: em x=\dfrac{\pi}{4} tem-se \cot\!\dfrac{\pi}{4}=1 e \csc^2\!\dfrac{\pi}{4}=2. Logo
f'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=1-\tfrac{\pi}{4}\cdot 2=1-\tfrac{\pi}{2}.
Isso mostra como avaliar a expressão da derivada em um ponto concreto.

Resposta

f'(x)=\cot x - x\csc^2 x

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