Um ponto
move-se sobre a elipse
. Sabe-se que as coordenadas
e
de
são funções definidas e deriváveis num intervalo
. Verifique que
em todo
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A curva é a elipse dada por
- As coordenadas do ponto são funções de tempo:
e , definidas e deriváveis num intervalo . - Pede-se para verificar a relação
para todo
tal que
.
Passo 2
Ideia inicial (sem ainda resolver): como
e
dependem de
e satisfazem a equação da elipse para todo
, basta diferenciar a identidade
em relação a
e usar a regra da cadeia. Vou aplicar a regra da cadeia passo a passo — não pularei etapas.
Passo 3
Regra da cadeia usada aqui: se
é diferenciável e
, então
No caso concreto, para
vale
porque
e
. Vou aplicar isso às duas parcelas da elipse.
Passo 4
Diferenciando termo a termo a igualdade
em relação a
, obtemos:
- Para
, como é constante vezes ,
- Para
,
- Para o lado direito,
.
Passo 5
Juntando as derivadas obtidas, a diferenciação da igualdade dá
Passo 6
Agora resolvo essa equação para
. Isolando o termo com
:
Dividindo ambos os lados por
(aqui uso a hipótese
), vem
Passo 7
Portanto, para todo
com
,
que é exatamente o que se pedia. Observação extra: se
num dado instante não se pode dividir por
e a fórmula não se aplica naquele instante; nesses pontos (por exemplo nos vértices da elipse) a derivação exigiria tratamento separado.
Passo 8
Interpretação alternativa (útil na prova): primeiro obter a derivada implícita
da elipse em termos de
:
e depois usar a regra da cadeia
para recuperar a mesma expressão. Isso mostra duas formas equivalentes de raciocinar — ambas simples e rápidas na prova.
Passo 9
Exemplo numérico rápido para checar: escolha
. Da elipse vem
A fórmula dá
ou seja, relaciona diretamente as taxas temporais no ponto escolhido — faz sentido e é consistente com a derivação.