Um ponto P move-se sobre a elipse 4 x^{2}+y^{2}=1. Sabe-se que as coordenadas x(t) e y(t) de P são funções definidas e deriváveis num intervalo I. Verifique que
\frac{d y}{d t}=-\frac{4 x}{y} \frac{d x}{d t}
em todo t \in I, \operatorname{com} y(t) \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A curva é a elipse dada por 4x^{2}+y^{2}=1.
  • As coordenadas do ponto são funções de tempo: \,x(t) e \,y(t), definidas e deriváveis num intervalo I.
  • Pede-se para verificar a relação
\frac{d y}{d t}=-\frac{4 x}{y}\,\frac{d x}{d t}
para todo t\in I tal que y(t)\neq 0.

Passo 2

Ideia inicial (sem ainda resolver): como x e y dependem de t e satisfazem a equação da elipse para todo t, basta diferenciar a identidade \,4x(t)^2+y(t)^2=1 em relação a t e usar a regra da cadeia. Vou aplicar a regra da cadeia passo a passo — não pularei etapas.

Passo 3

Regra da cadeia usada aqui: se u(t) é diferenciável e g(u)=u^{2}, então
\frac{d}{dt}\big(g(u(t))\big)=g'(u(t))\cdot u'(t).
No caso concreto, para x(t)^2 vale
\frac{d}{dt}\big(x(t)^2\big)=2x(t)\,\frac{d x}{d t},
porque g'(u)=2u e u'(t)=\dfrac{dx}{dt}. Vou aplicar isso às duas parcelas da elipse.

Passo 4

Diferenciando termo a termo a igualdade \,4x(t)^2+y(t)^2=1 em relação a t, obtemos:
  • Para \,4x(t)^2, como é constante 4 vezes x(t)^2,
\frac{d}{dt}\big(4x(t)^2\big)=4\cdot\frac{d}{dt}\big(x(t)^2\big)=4\cdot\big(2x(t)\,\frac{dx}{dt}\big)=8x(t)\,\frac{dx}{dt}.
  • Para \,y(t)^2,
\frac{d}{dt}\big(y(t)^2\big)=2y(t)\,\frac{dy}{dt}.
  • Para o lado direito, \dfrac{d}{dt}(1)=0.

Passo 5

Juntando as derivadas obtidas, a diferenciação da igualdade dá
8x(t)\,\frac{dx}{dt}+2y(t)\,\frac{dy}{dt}=0.

Passo 6

Agora resolvo essa equação para \dfrac{dy}{dt}. Isolando o termo com \dfrac{dy}{dt}:
2y(t)\,\frac{dy}{dt}=-8x(t)\,\frac{dx}{dt}.
Dividindo ambos os lados por 2y(t) (aqui uso a hipótese y(t)\neq 0), vem
\frac{dy}{dt}=-\frac{8x(t)}{2y(t)}\,\frac{dx}{dt}=-\frac{4x(t)}{y(t)}\,\frac{dx}{dt}.

Passo 7

Portanto, para todo t\in I com y(t)\neq 0,
\frac{dy}{dt}=-\frac{4x}{y}\,\frac{dx}{dt},
que é exatamente o que se pedia. Observação extra: se y(t)=0 num dado instante não se pode dividir por y e a fórmula não se aplica naquele instante; nesses pontos (por exemplo nos vértices da elipse) a derivação exigiria tratamento separado.

Passo 8

Interpretação alternativa (útil na prova): primeiro obter a derivada implícita \dfrac{dy}{dx} da elipse em termos de x,y:
\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{y},
e depois usar a regra da cadeia \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt} para recuperar a mesma expressão. Isso mostra duas formas equivalentes de raciocinar — ambas simples e rápidas na prova.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para checar: escolha x=\dfrac{1}{3}. Da elipse vem
y^{2}=1-4x^{2}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},\quad y=\frac{\sqrt{5}}{3}.
A fórmula dá
\frac{dy}{dt}=-\frac{4\cdot\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}\,\frac{dx}{dt}=-\frac{4}{\sqrt{5}}\,\frac{dx}{dt},
ou seja, relaciona diretamente as taxas temporais no ponto escolhido — faz sentido e é consistente com a derivação.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{4x}{y}\,\frac{dx}{dt}

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