1. Calcule \iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .
  2. Calcule \iiint_{H}\left(9-x^{2}-y^{2}\right) d V, onde H é o hemisfério sólido x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 9, z \geqslant 0.
  3. Calcule \iiint_{E} z d V, onde E está entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante.
  4. Calcule \iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d V, onde E é delimitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no primeiro octante.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas para cada item.
  • (21) Calcular \iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} dV, onde B é a bola com centro na origem e raio 5. Ou seja, domínio: \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 5^{2}\}.
  • (22) Calcular \iiint_{H}\left(9-x^{2}-y^{2}\right) dV, onde H é o hemisfério sólido definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; z\ge 0. Ou seja, esfera de raio 3, apenas a metade com z\ge0.
  • (23) Calcular \iiint_{E} z\, dV, onde E é a região entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante. Ou seja, 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 com x,y,z\ge 0.
  • (24) Calcular \iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} dV, onde E é o interior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no primeiro octante. Ou seja, bola de raio 3 com x,y,z\ge0.
Essas quatro integrais são sobre regiões esféricas ou partes delas — portanto é natural usar coordenadas esféricas. Nos passos seguintes vou explicar as coordenadas esféricas (passo-a-passo e didático) e então resolver cada integral detalhadamente.

Passo 2

Breve aula sobre coordenadas esféricas (o básico que precisa para resolver estes exercícios).
  • Definição das variáveis:
    • r é a distância à origem: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, com r\ge 0.
    • \varphi (phi) é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar), com 0\le \varphi\le \pi.
    • \theta (theta) é o ângulo no plano xy (azimutal), com 0\le \theta<2\pi.
  • Relações entre coordenadas:
    x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
  • Elemento de volume (Jacobiano): na troca de variáveis para (r,\varphi,\theta),
    dV = r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.
    Explicação: o volume de um “pequeno cubinho” em esféricas vem do produto das medidas na direção radial ( dr), angular polar ( r\,d\varphi) e azimutal ( r\sin\varphi\,d\theta), daí dr\cdot (r\,d\varphi)\cdot (r\sin\varphi\,d\theta)=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Intervalos típicos para regiões:
    • Bola de raio a: 0\le r\le a, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le 2\pi.
    • Hemisfério superior ( z\ge0): 0\le\varphi\le \pi/2.
    • Primeiro octante: 0\le\theta\le \pi/2, 0\le\varphi\le \pi/2, e r entre as fronteiras radiais.
Agora aplicamos isso aos quatro itens, trocando a função integranda para esféricas e escolhendo os limites apropriados.

Passo 3

O integrando é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}. Em coordenadas esféricas temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Logo a função vira r^{4}.
O elemento de volume é dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Multiplicando,
o integrando total é r^{4}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{6}\sin\varphi.
A região B é a bola de raio 5, então os limites são:
0\le r\le 5,\qquad 0\le\varphi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Portanto a integral vale
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{5} r^{6}\sin\varphi \, dr\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Vamos integrar por partes separáveis: a integral se separa em produto de uma integral em r, uma em \varphi e outra em \theta porque o integrando é produto r-dependente e \varphi-dependente.
  • Integral em r:
    \int_{0}^{5} r^{6}\,dr = \left.\frac{r^{7}}{7}\right|_{0}^{5} = \frac{5^{7}}{7}.
  • Integral em \varphi:
    \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\, d\varphi = \left.-\cos\varphi\right|_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
  • Integral em \theta:
    \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando tudo:
\text{valor (21)} = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{5^{7}}{7} = \frac{4\pi 5^{7}}{7}.

Passo 5

A função é 9 - x^{2} - y^{2}. Em esféricas x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin^{2}\varphi. Então o integrando é
9 - r^{2}\sin^{2}\varphi.
Elemento de volume: dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. O integrando total vira
\bigl(9 - r^{2}\sin^{2}\varphi\bigr) r^{2}\sin\varphi = \bigl(9 r^{2} - r^{4}\sin^{2}\varphi\bigr)\sin\varphi.
A região H é o hemisfério superior de raio 3. Limites:
0\le r\le 3,\qquad 0\le\varphi\le \frac{\pi}{2}\quad(\text{pois }z\ge 0),\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
Assim a integral é
\iiint_{H}\bigl(9-x^{2}-y^{2}\bigr)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} \bigl(9 r^{2} - r^{4}\sin^{2}\varphi\bigr)\sin\varphi \, dr\, d\varphi\, d\theta.

Passo 6

Primeiro integramos em r (mantendo \varphi fixo):
  • \displaystyle \int_{0}^{3} 9 r^{2}\, dr = 9\cdot\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{3} = 3\cdot 3^{3} = 81.
  • \displaystyle \int_{0}^{3} r^{4}\, dr = \frac{r^{5}}{5}\Big|_{0}^{3} = \frac{3^{5}}{5} = \frac{243}{5}.
Portanto a integral em r
\int_{0}^{3}\bigl(9 r^{2} - r^{4}\sin^{2}\varphi\bigr)\, dr = 81 - \frac{243}{5}\sin^{2}\varphi.
Agora a integral restante é
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi/2} \bigl(81 - \tfrac{243}{5}\sin^{2}\varphi\bigr)\sin\varphi\, d\varphi = 2\pi \left(81\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi - \tfrac{243}{5}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\right).
Calcule as integrais em \varphi:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\, d\varphi = 1.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\, d\varphi. Uma forma rápida: \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi). Assim
    \int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\, d\varphi = \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\, d\varphi - \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\, d\varphi = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
    (ou usar fórmula conhecida que \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\varphi\,d\varphi = \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2} para n par/ímpar; aqui o resultado é \tfrac{2}{3}.)
Agora substituindo:
\text{valor (21)}\\ \text{(ops, aqui é (22) — atenção à correspondência)}: \quad 2\pi\left(81\cdot 1 - \tfrac{243}{5}\cdot \tfrac{2}{3}\right).éçãàê
Calcule dentro do parênteses:
81 - \tfrac{243}{5}\cdot \tfrac{2}{3} = 81 - \tfrac{486}{15} = 81 - \tfrac{162}{5} = \tfrac{405-162}{5} = \tfrac{243}{5}.
Logo a integral vale
\text{valor (22)} = 2\pi \cdot \tfrac{243}{5} = \tfrac{486\pi}{5}.

Passo 7

A integranda é z. Em esféricas z=r\cos\varphi. O elemento de volume é r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Portanto o integrando total é
z\,dV = r\cos\varphi \cdot r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta = r^{3}\cos\varphi\sin\varphi \, dr\,d\varphi\,d\theta.
A região E é a casca entre esferas de raios 1 e 2 no primeiro octante. Limites:
1\le r\le 2,\qquad 0\le\varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le\theta\le \frac{\pi}{2}.
Logo a integral é
\iiint_{E} z\, dV = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{1}^{2} r^{3}\cos\varphi\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.

Passo 8

Integramos em r primeiro:
\int_{1}^{2} r^{3}\, dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.
Assim a integral reduz a
\frac{15}{4}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta.
Calcule a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\varphi)\, d\varphi = \frac{1}{2}\cdot\left.\left(-\frac{1}{2}\cos(2\varphi)\right)\right|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(1- \cos 0\bigr) .
Mas é mais simples usar u=\sin^{2}\varphi: du=2\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi, então
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \frac{1}{2}\bigl[\sin^{2}\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}.
Integral em \theta é \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando tudo:
\text{valor (23)} = \frac{15}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{15\pi}{16}.

Passo 9

A integranda é e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}. Como \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=r, o integrando vira e^{r}.
Elemento de volume: dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Produto total: e^{r} r^{2}\sin\varphi.
A região E é a bola de raio 3 no primeiro octante, então os limites são:
0\le r\le 3,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
A integral é
\iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\, dV = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{3} e^{r} r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.

Passo 10

As integrais em \varphi e \theta separam facilmente:
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\, d\varphi = 1.
  • \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}.
Portanto a integral reduz a
\frac{\pi}{2}\int_{0}^{3} e^{r} r^{2}\, dr.
Falta calcular \displaystyle \int_{0}^{3} e^{r} r^{2}\, dr. Fazendo integração por partes (ou usando a fórmula reduzida para \int r^{n}e^{r}dr), tem-se a primitiva
\int e^{r} r^{2}\, dr = e^{r}\bigl(r^{2}-2r+2\bigr) + C,
pois derivando e^{r}(r^{2}-2r+2) volta e^{r}r^{2}.
Agora avaliar de 0 a 3:
\int_{0}^{3} e^{r} r^{2}\, dr = e^{3}\bigl(3^{2}-2\cdot 3 +2\bigr) - e^{0}\bigl(0^{2}-0+2\bigr) = e^{3}\cdot 5 - 2.
Multiplicando pelo fator angular \frac{\pi}{2}:
\text{valor (24)} = \frac{\pi}{2}\bigl(5e^{3} - 2\bigr) = \frac{5\pi e^{3}}{2} - \pi.

Resposta

\displaystyle \frac{312500\pi}{7}
\displaystyle \frac{486\pi}{5}
\displaystyle \frac{15\pi}{16}
\displaystyle \frac{5\pi e^{3}}{2} - \pi

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