Calcule \iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule \iiint_{H}\left(9-x^{2}-y^{2}\right) d V, onde H é o hemisfério sólido x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 9, z \geqslant 0.
Calcule \iiint_{E} z d V, onde E está entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante.
Calcule \iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d V, onde E é delimitado pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no primeiro octante.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas para cada item.
(21) Calcular \iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} dV, onde B é a bola com centro na origem e raio 5. Ou seja, domínio: \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 5^{2}\}.
(22) Calcular \iiint_{H}\left(9-x^{2}-y^{2}\right) dV, onde H é o hemisfério sólido definido por x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,\; z\ge 0. Ou seja, esfera de raio 3, apenas a metade com z\ge0.
(23) Calcular \iiint_{E} z\, dV, onde E é a região entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 no primeiro octante. Ou seja, 1\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 com x,y,z\ge 0.
(24) Calcular \iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} dV, onde E é o interior da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 no primeiro octante. Ou seja, bola de raio 3 com x,y,z\ge0.
Essas quatro integrais são sobre regiões esféricas ou partes delas — portanto é natural usar coordenadas esféricas. Nos passos seguintes vou explicar as coordenadas esféricas (passo-a-passo e didático) e então resolver cada integral detalhadamente.
Passo 2
Breve aula sobre coordenadas esféricas (o básico que precisa para resolver estes exercícios).
Definição das variáveis:
r é a distância à origem: r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, com r\ge 0.
\varphi (phi) é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo polar), com 0\le \varphi\le \pi.
\theta (theta) é o ângulo no plano xy (azimutal), com 0\le \theta<2\pi.
Relações entre coordenadas:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
Elemento de volume (Jacobiano): na troca de variáveis para (r,\varphi,\theta),
dV = r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.
Explicação: o volume de um “pequeno cubinho” em esféricas vem do produto das medidas na direção radial (dr), angular polar (r\,d\varphi) e azimutal (r\sin\varphi\,d\theta), daí dr\cdot (r\,d\varphi)\cdot (r\sin\varphi\,d\theta)=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Intervalos típicos para regiões:
Bola de raio a: 0\le r\le a, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le 2\pi.
Hemisfério superior (z\ge0): 0\le\varphi\le \pi/2.
Primeiro octante: 0\le\theta\le \pi/2, 0\le\varphi\le \pi/2, e r entre as fronteiras radiais.
Agora aplicamos isso aos quatro itens, trocando a função integranda para esféricas e escolhendo os limites apropriados.
Passo 3
O integrando é \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}. Em coordenadas esféricas temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}. Logo a função vira r^{4}.
O elemento de volume é dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Multiplicando,
o integrando total é r^{4}\cdot r^{2}\sin\varphi = r^{6}\sin\varphi.
A região B é a bola de raio 5, então os limites são:
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{5} r^{6}\sin\varphi \, dr\, d\varphi\, d\theta.
Passo 4
Vamos integrar por partes separáveis: a integral se separa em produto de uma integral em r, uma em \varphi e outra em \theta porque o integrando é produto r-dependente e \varphi-dependente.
(ou usar fórmula conhecida que \int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}\varphi\,d\varphi = \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2} para n par/ímpar; aqui o resultado é \tfrac{2}{3}.)
Agora substituindo:
\text{valor (21)}\\ \text{(ops, aqui é (22) — atenção à correspondência)}: \quad 2\pi\left(81\cdot 1 - \tfrac{243}{5}\cdot \tfrac{2}{3}\right).éçãàê
Falta calcular \displaystyle \int_{0}^{3} e^{r} r^{2}\, dr. Fazendo integração por partes (ou usando a fórmula reduzida para \int r^{n}e^{r}dr), tem-se a primitiva
\int e^{r} r^{2}\, dr = e^{r}\bigl(r^{2}-2r+2\bigr) + C,
pois derivando e^{r}(r^{2}-2r+2) volta e^{r}r^{2}.