39-40 Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas.
39. \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x y d z d y d x
40. \int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{3}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2} z+y^{2} z+z^{3}\right) d z d x d y

Passo 1

Vou listar exatamente o que cada enunciado pede e quais informações temos (sem começar a resolver ainda).
Para o exercício 39:
  • Pedem calcular a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x y \, d z \, d y \, d x.
  • Limites:
    • x varia de 0 a 1.
    • Para cada x, y varia de 0 a \sqrt{1-x^{2}}.
    • Para cada (x,y), z varia de z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} até z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}.
  • Integrando a função x y sobre a região descrita.
Para o exercício 40:
  • Pedem calcular a integral
\int_{-a}^{a} \int_{-\sqrt{a^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-y^{2}}} \int_{-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}}\bigl(x^{2} z+y^{2} z+z^{3}\bigr) \, d z \, d x \, d y.
(assumi que o expoente escrito como x^{3} no enunciado é um erro de digitação e que os limites de z são \pm\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, pois assim a região é a bola de raio a — isso é o formato padrão.)
  • Limites:
    • y varia de -a a a.
    • Para cada y, x varia de -\sqrt{a^{2}-y^{2}} a \sqrt{a^{2}-y^{2}}.
    • Para cada (x,y), z varia de -\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}} a +\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}.
  • Integrando a função x^{2}z+y^{2}z+z^{3} sobre a bola de raio a.

Passo 2

Vou resolver o exercício 39. Primeiro explico a mudança para coordenadas esféricas para você entender como aplicar na prova.
  • Definição das coordenadas esféricas (a convenção que uso): x = \rho \sin\varphi \cos\theta,\qquad y = \rho \sin\varphi \sin\theta,\qquad z = \rho \cos\varphi,onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • Jacobiano da transformação (fator de volume): dV = \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Interpretação rápida: \sin\varphi vem da área do anel angular; \rho^{2} da escala radial. Sempre que mudar para esféricas, multiplica-se a função pelo Jacobiano.

Passo 3

Identificar a região de integração do exercício 39 em termos geométricos para achar os limites em \rho,\varphi,\theta.
  • Observando os limites em x,y: x\in[0,1] e y\in[0,\sqrt{1-x^{2}}]. Isso representa o quarto de disco no plano xy com raio 1, no primeiro quadrante: em coordenadas polares no plano xy, isso é r\in[0,1] e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • O limite inferior de z é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Em coordenadas esféricas isso é \rho\cos\varphi = \rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.Logo a superfície z=r é um cone que corresponde a \varphi=\tfrac{\pi}{4}.
  • O limite superior de z é z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}. Isso ao quadrado dá z^{2}+x^{2}+y^{2}=2, isto é \rho^{2}=2 ou \rho=\sqrt{2} (esfera de raio \sqrt{2}).
  • Resumindo: a região é o conjunto de pontos dentro da esfera \rho\le\sqrt{2}, acima do cone \varphi=\tfrac{\pi}{4}, e com \theta no primeiro quadrante. Como o cone é \varphi=\tfrac{\pi}{4}, a região tem \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{4}]. O primeiro quadrante dá \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. E radialmente \rho vai de 0 até a esfera \sqrt{2}. (Verificação rápida: com \varphi\le\tfrac{\pi}{4} e \rho\le\sqrt{2} o valor de r=\rho\sin\varphi\le\sqrt{2}\sin(\tfrac{\pi}{4})=1, então as restrições no plano xy estão satisfeitas.)

Passo 4

Transformar o integrando x y para esféricas e montar a integral.
  • Primeiro converto x y: x y = (\rho\sin\varphi\cos\theta)(\rho\sin\varphi\sin\theta)=\rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos\theta\sin\theta.
  • Multiplico pelo Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi: x y\, dV = \rho^{2}\sin^{2}\varphi\cos\theta\sin\theta \cdot \rho^{2}\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta = \rho^{4}\sin^{3}\varphi\cos\theta\sin\theta \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Portanto a integral vira I_{39}=\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{\rho=0}^{\sqrt{2}} \rho^{4}\sin^{3}\varphi\cos\theta\sin\theta \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \theta. Aqui aproveitamos separação de variáveis.
  • A parte dependente de \theta é \cos\theta\sin\theta. Uma identidade útil é \cos\theta\sin\theta=\tfrac{1}{2}\sin(2\theta), ou integrar diretamente: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin\theta \, d\theta =\left.\tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =\tfrac{1}{2}.
  • Assim podemos separar a integral em produto dos fatores radiais, angulares e azimutal.

Passo 6

Calcular a integral em \rho:
\int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^{4} \, d\rho = \left.\frac{\rho^{5}}{5}\right|_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^{5}}{5} = \frac{2^{5/2}}{5} = \frac{4\sqrt{2}}{5}.

Passo 7

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{3}\varphi \, d\varphi.
  • Faço a identidade \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi) e uso u=\cos\varphi quando necessário.
  • Integral: \int \sin^{3}\varphi\, d\varphi = \int \sin\varphi\, d\varphi - \int \sin\varphi\cos^{2}\varphi\, d\varphi = -\cos\varphi + \frac{\cos^{3}\varphi}{3} + C.
  • Avaliando de 0 a \tfrac{\pi}{4}: \left[-\cos\varphi + \frac{\cos^{3}\varphi}{3}\right]_{0}^{\pi/4} =\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{(\sqrt{2}/2)^{3}}{3}\Bigr) -\Bigl(-1+\frac{1}{3}\Bigr).Calculo interno: (\sqrt{2}/2)^{3}=\sqrt{2}/4. Assim -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{12} -\left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{6\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{2}}{12} +\frac{8}{12} = \frac{8-5\sqrt{2}}{12}.Logo \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{3}\varphi \, d\varphi = \frac{8-5\sqrt{2}}{12}.

Passo 8

Multiplicar os resultados parciais para obter I_{39}.
  • Juntando os fatores: I_{39} = \Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\sqrt{2}}\rho^{4}\,d\rho\Bigr).Substituindo os valores encontrados: I_{39} = \frac{1}{2}\cdot \frac{8-5\sqrt{2}}{12}\cdot \frac{4\sqrt{2}}{5}.
  • Faço as multiplicações passo a passo: \frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{2}}{5}=\frac{2\sqrt{2}}{5}.Então I_{39}=\frac{2\sqrt{2}}{5}\cdot\frac{8-5\sqrt{2}}{12} =\frac{2\sqrt{2}(8-5\sqrt{2})}{60}.Expandindo o numerador: 2\sqrt{2}\cdot 8=16\sqrt{2},\qquad 2\sqrt{2}\cdot(-5\sqrt{2})=-20,então o numerador é 16\sqrt{2}-20. Assim I_{39}=\frac{16\sqrt{2}-20}{60}=\frac{4\sqrt{2}-5}{15}.

Passo 9

Agora resolvo o exercício 40. Primeiro uma observação sobre a região e o integrando.
  • Região de integração (conforme os limites): para cada y\in[-a,a], x varia em [-\sqrt{a^{2}-y^{2}},\sqrt{a^{2}-y^{2}}], e para cada (x,y), z varia em [-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}},\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}]. Isso é exatamente a bola de raio a centrada na origem: x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}.
  • O integrando pode ser simplificado: x^{2}z+y^{2}z+z^{3}=z(x^{2}+y^{2}+z^{2}).Em coordenadas esféricas x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} e z=\rho\cos\varphi. Então o integrando fica \rho^{2}\cdot(\rho\cos\varphi)=\rho^{3}\cos\varphi.
  • Multiplicando pelo Jacobiano \rho^{2}\sin\varphi obtemos a função a integrar \rho^{3}\cos\varphi\cdot\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{5}\cos\varphi\sin\varphi.
  • A região é a bola inteira, então os limites esféricos são: \rho\in[0,a],\qquad \varphi\in[0,\pi],\qquad \theta\in[0,2\pi].

Passo 10

Calcular a integral I_{40} usando as coordenadas esféricas.
  • A integral fica I_{40}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} \rho^{5}\cos\varphi\sin\varphi \, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Podemos separar o fator angular em \cos\varphi\sin\varphi. Primeiro fazemos a integral em \rho: \int_{0}^{a} \rho^{5}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{6}}{6}\right|_{0}^{a} = \frac{a^{6}}{6}.
  • Então I_{40}=\frac{a^{6}}{6}\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi \, d\varphi.

Passo 11

Avaliar a integral angular \int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
  • Uma primitiva é \tfrac{1}{2}\sin^{2}\varphi. Calculando: \int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \left.\tfrac{1}{2}\sin^{2}\varphi\right|_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin^{2}\pi - \sin^{2}0\bigr)=0.
  • Portanto a integral sobre \varphi é zero. Como o restante dos fatores é finito, o produto é zero.

Passo 12

Conclusão para o exercício 40: a integral é zero por simetria (o integrando é uma função ímpar em z multiplicada por função radial simétrica, ou sempre que a parte angular \int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi sai zero).

Resposta

\dfrac{4\sqrt{2}-5}{15}
0

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