1. Sé o disco dado por u^{2}+v^{2} \leqslant 1 ; x=a u, y=b v
11-16 Utilize a transformação dada para calcular a integral.
11. \iint_{R}(x-3 y) d A, onde R é a região triangular de vértices (0,0), (2,1) \mathrm{e}(1,2) ; x=2 u+v, y=u+2 v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} (x-3y)\,dA,
onde R é o triângulo com vértices (0,0), (2,1) e (1,2), usando a transformação linear
x=2u+v,\qquad y=u+2v.
Informações relevantes dadas:
  • A transformação entre (u,v) e (x,y) é linear e definida por x=2u+v e y=u+2v.
  • A região R em (x,y) é o triângulo com vértices (0,0), (2,1) e (1,2).
  • A tarefa é aplicar a mudança de variáveis para transformar a integral sobre R numa integral em (u,v), calcular explicitamente e fornecer o valor numérico.

Passo 2

Ideia da técnica (aula rápida e informal):
Quando fazemos uma mudança de variáveis (u,v)\mapsto(x,y), a área elementar transforma-se segundo o determinante jacobiano da transformação. Para uma transformação linear (x,y)=A(u,v) com matriz A, vale
dA = \left|\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right|\,du\,dv.
Aqui a matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
e o jacobiano é \det A. Vou calcular explicitamente o jacobiano e também transformar a região R para coordenadas (u,v).]

Passo 3

Encontrar a região correspondente em (u,v) (passo-chave):
Precisamos inverter a transformação para descobrir quais pontos (u,v) correspondem aos vértices do triângulo em (x,y). A inversa de A é
A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Calculo o determinante:
\det A = 2\cdot2 - 1\cdot1 = 4-1 = 3.
Logo
A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Agora aplico A^{-1} nos vértices para achar suas coordenadas (u,v).
  • Para (x,y)=(0,0):
\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} =A^{-1}\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para (x,y)=(2,1):
\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4-1\\[4pt]-2+2\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para (x,y)=(1,2):
\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2-2\\[4pt]-1+4\end{pmatrix} =\frac{1}{3}\begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto a imagem inversa do triângulo R é o triângulo S em (u,v) com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Esse triângulo é simplesmente a região
S=\{(u,v)\mid u\ge0,\\ v\ge0,\\ u+v\le1\}.]

Passo 4

Calcular o jacobiano e escrever dA em função de du\,dv:
Como já calculado,
\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)=\det A = 3.
Assim
dA = 3\,du\,dv.
Uma observação didática rápida: para uma transformação linear x=au+bv,\\ y=cu+dv, o jacobiano é \det\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}. Ele mede quanto uma pequena área em (u,v) é esticada/encolhida ao mapear para (x,y).

Passo 5

Expressar o integrando em (u,v):
Substituo x=2u+v e y=u+2v em x-3y:
x-3y = (2u+v)-3(u+2v) = 2u+v-3u-6v = -u-5v.
Portanto o integrando na nova variável é -u-5v.

Passo 6

Montar e calcular a integral em (u,v):
A integral original transforma-se em
\iint_{R}(x-3y)\,dA = \iint_{S} \bigl(-u-5v\bigr)\cdot 3\,du\,dv =3\iint_{S} \bigl(-u-5v\bigr)\,du\,dv.
Como S é o triângulo u\ge0,\\ v\ge0,\\ u+v\le1, podemos integrar com v de 0 a 1 e u de 0 a 1-v:
3\int_{v=0}^{1}\int_{u=0}^{1-v} \bigl(-u-5v\bigr)\,du\,dv.
Calculo a integral interna em u:
\int_{u=0}^{1-v} \bigl(-u-5v\bigr)\,du =\left[-\frac{u^{2}}{2}-5v\,u\right]_{0}^{1-v} =-\frac{(1-v)^{2}}{2}-5v(1-v).
Desenvolvendo e simplificando:
-\frac{(1-v)^{2}}{2}-5v(1-v) =-\frac{1-2v+v^{2}}{2}-5v+5v^{2} =-\frac{1}{2}-4v+\frac{9}{2}v^{2}.
Agora integrar em v de 0 a 1 e multiplicar por 3:
3\int_{0}^{1}\left(-\frac{1}{2}-4v+\frac{9}{2}v^{2}\right)dv =3\left[-\frac{v}{2}-2v^{2}+\frac{9}{6}v^{3}\right]_{0}^{1}.
Avalio em v=1:
-\frac{1}{2}-2+\frac{9}{6}=-\frac{1}{2}-2+\frac{3}{2}=-1.
Multiplicando por 3
3\cdot(-1)=-3.

Passo 7

Interpretação final e cheque rápido:
O valor da integral é -3. Fizemos um procedimento padrão: inverti a transformação linear para mapear a região para um triângulo simples, calculei o jacobiano (que é a área de escala), substituí o integrando e calculei a integral dupla numa região triangular simples. Tudo confere com as contas passo a passo.

Resposta

-3

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