Sé o disco dado por u^{2}+v^{2} \leqslant 1 ; x=a u, y=b v
11-16 Utilize a transformação dada para calcular a integral.
11. \iint_{R}(x-3 y) d A, onde R é a região triangular de vértices (0,0), (2,1) \mathrm{e}(1,2) ; x=2 u+v, y=u+2 v
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} (x-3y)\,dA,
onde R é o triângulo com vértices (0,0), (2,1) e (1,2), usando a transformação linear
x=2u+v,\qquad y=u+2v.
Informações relevantes dadas:
A transformação entre (u,v) e (x,y) é linear e definida por x=2u+v e y=u+2v.
A região R em (x,y) é o triângulo com vértices (0,0), (2,1) e (1,2).
A tarefa é aplicar a mudança de variáveis para transformar a integral sobre R numa integral em (u,v), calcular explicitamente e fornecer o valor numérico.
Passo 2
Ideia da técnica (aula rápida e informal):
Quando fazemos uma mudança de variáveis (u,v)\mapsto(x,y), a área elementar transforma-se segundo o determinante jacobiano da transformação. Para uma transformação linear (x,y)=A(u,v) com matriz A, vale
dA = \left|\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\right|\,du\,dv.
Aqui a matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
e o jacobiano é \det A. Vou calcular explicitamente o jacobiano e também transformar a região R para coordenadas (u,v).]
Passo 3
Encontrar a região correspondente em (u,v) (passo-chave):
Precisamos inverter a transformação para descobrir quais pontos (u,v) correspondem aos vértices do triângulo em (x,y). A inversa de A é
Portanto a imagem inversa do triângulo R é o triângulo S em (u,v) com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Esse triângulo é simplesmente a região
S=\{(u,v)\mid u\ge0,\\ v\ge0,\\ u+v\le1\}.]
Passo 4
Calcular o jacobiano e escrever dA em função de du\,dv:
Como já calculado,
\det\!\left(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)=\det A = 3.
Assim
dA = 3\,du\,dv.
Uma observação didática rápida: para uma transformação linear x=au+bv,\\ y=cu+dv, o jacobiano é \det\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}. Ele mede quanto uma pequena área em (u,v) é esticada/encolhida ao mapear para (x,y).
Passo 5
Expressar o integrando em (u,v):
Substituo x=2u+v e y=u+2v em x-3y:
x-3y = (2u+v)-3(u+2v) = 2u+v-3u-6v = -u-5v.
Portanto o integrando na nova variável é -u-5v.
Passo 6
Montar e calcular a integral em (u,v):
A integral original transforma-se em
Interpretação final e cheque rápido:
O valor da integral é -3. Fizemos um procedimento padrão: inverti a transformação linear para mapear a região para um triângulo simples, calculei o jacobiano (que é a área de escala), substituí o integrando e calculei a integral dupla numa região triangular simples. Tudo confere com as contas passo a passo.