Calcule
\iiint_{E} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d V
onde E é a região no primeiro octante entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Escolha uma opção:
\frac{\pi}{2}
2 \pi
\pi
\frac{3 \pi}{2}
\frac{2 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
\iiint_{E} \frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,dV,
onde E é a região no primeiro octante (ou seja x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0) entre as esferas \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\; e \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\;.
Informações relevantes dadas:
  • A região é a parte entre as duas esferas de raios 1 e 3 limitada ao primeiro octante.
  • A função a integrar é \displaystyle \frac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}.
    A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral (há opções fornecidas).

Passo 2

Qual método usar? A região e a integranda sugerem fortemente coordenadas esféricas, porque a integranda depende de x^{2}+y^{2}+z^{2} e as fronteiras são esferas. Coordenadas esféricas tornam a expressão e a região muito simples.
Definição e fórmulas das coordenadas esféricas (aula rápida):
  • Em esféricas usa-se \;r\ge0\; (distância ao origem), \;0\le\theta<2\pi\; (ângulo no plano xy, azimute) e \;0\le\varphi\le\pi\; (ângulo polar contado a partir do eixo z positivo).
  • As relações com x,y,z são:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
  • O elemento de volume (Jacobiano) é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Intervalos para a nossa região E (justificação):
  • Entre as esferas: \;1\le r\le 3.
  • Primeiro octante: x\ge0,y\ge0,z\ge0 implica \;0\le\theta\le \dfrac{\pi}{2} e \;0\le\varphi\le \dfrac{\pi}{2}.
    Portanto os limites são r\in[1,3], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 3

Passar a integranda para esféricas, passo a passo:
  • Note que \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e \;z=r\cos\varphi.
  • Então a função dentro da integral vira
\frac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}=\frac{r\cos\varphi}{(r^{2})^{3/2}}=\frac{r\cos\varphi}{r^{3}}=\frac{\cos\varphi}{r^{2}}.
  • Multiplicando pelo Jacobiano r^{2}\sin\varphi obtemos o integrando em termos das variáveis esféricas:
\frac{\cos\varphi}{r^{2}}\cdot r^{2}\sin\varphi = \cos\varphi\sin\varphi.
Observação útil: a dependência em r some — ótimo, fica muito mais simples.

Passo 4

Montar a integral em esféricas e separar as integrais:
\iiint_{E}\frac{z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dV = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=1}^{3} \cos\varphi\sin\varphi \;dr\,d\varphi\,d\theta.
Como o integrando não depende de \theta nem de r (após a simplificação), podemos separar:
\left(\int_{r=1}^{3} dr\right)\left(\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\right)\left(\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta\right).
Calcule cada fator:
  • \displaystyle \int_{r=1}^{3} dr = 3-1 = 2.
  • \displaystyle \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2}.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi use a substituição u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi. Então
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi = \int_{u(0)=0}^{u(\pi/2)=1} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Multiplicando os fatores temos o valor da integral escrito como
2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Resumo final do cálculo (sem simplificar aqui): a integral separou-se em três fatores cujo produto é
2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}.
Isso conclui o cálculo passo a passo; agora confira a alternativa correta.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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