Calcule
onde
é a região no primeiro octante entre as esferas
e
.
Escolha uma opção:
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
◯
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
onde
é a região no primeiro octante (ou seja
) entre as esferas
e
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A região é a parte entre as duas esferas de raios
e limitada ao primeiro octante. - A função a integrar é
.
A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral (há opções fornecidas).
Passo 2
Qual método usar? A região e a integranda sugerem fortemente coordenadas esféricas, porque a integranda depende de
e as fronteiras são esferas. Coordenadas esféricas tornam a expressão e a região muito simples.
Definição e fórmulas das coordenadas esféricas (aula rápida):
- Em esféricas usa-se
(distância ao origem), (ângulo no plano , azimute) e (ângulo polar contado a partir do eixo positivo). - As relações com
são:
- O elemento de volume (Jacobiano) é
Intervalos para a nossa região
(justificação):
- Entre as esferas:
. - Primeiro octante:
implica e .
Portanto os limites são, , .
Passo 3
Passar a integranda para esféricas, passo a passo:
- Note que
e . - Então a função dentro da integral vira
- Multiplicando pelo Jacobiano
obtemos o integrando em termos das variáveis esféricas:
Observação útil: a dependência em
some — ótimo, fica muito mais simples.
Passo 4
Montar a integral em esféricas e separar as integrais:
Como o integrando não depende de
nem de
(após a simplificação), podemos separar:
Calcule cada fator:
-
-
- Para
use a substituição , . Então
Multiplicando os fatores temos o valor da integral escrito como
Passo 5
Resumo final do cálculo (sem simplificar aqui): a integral separou-se em três fatores cujo produto é
Isso conclui o cálculo passo a passo; agora confira a alternativa correta.