Exercício 3. Resolva as seguinte equações diferenciais
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é soma de um polinômio
e de uma função trigonométrica .
O que se pede:
- Encontrar a solução geral
da equação (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).
Passo 2
Primeiro passo técnico padrão: achar a solução geral da equação homogênea associada
Para isso usamos o polinômio característico. Assumindo
leva a
As raízes são
. Para equações com raízes complexas conjugadas
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a família de soluções da homogênea).
Explicação curta: a ideia é que
e
aparecem naturalmente porque
de
ou
volta a dar
ou
, satisfazendo
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação completa
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Motivo: o lado direito é soma de funções elementares (polinômio e seno) e os coeficientes da equação são constantes, então esse método é eficiente. A ideia é supor uma forma para
com constantes desconhecidas e determinar essas constantes substituindo na equação.
Como o lado direito é soma, vamos procurar
, onde
resolve a parte do polinômio
e
resolve a parte trigonométrica
.
Passo 4
Parte polinomial: para o termo
(polinômio de grau 1) tentamos uma particular do mesmo tipo:
onde
e
são constantes a determinar.
Calcular derivadas:
Substituindo em
(só para a parte polinomial):
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante):
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 5
Parte trigonométrica: para o termo
normalmente tentaríamos
Mas atenção: esse é um caso de ressonância porque
e
já fazem parte da solução homogênea
. Quando a forma tentada coincide com soluções da homogênea, devemos multiplicar a tentativa por
para obter uma forma linearmente independente. Logo usamos
Aqui
e
são constantes a determinar.
Explicação intuitiva: multiplicar por
“escapa” da solução homogênea e gera termos que permitem balancear o lado direito.
Passo 6
Calcular derivadas de
com cuidado (usar regra do produto).
Começando por
Derivada primeira (aplicando produto termo a termo):
Derivada segunda (derivando cada parcela):
Calculemos termo a termo para evitar erros.
Calculemos termo a termo para evitar erros.
Derivando
:
Logo a derivada total dessa parcela é
.
Derivando
:
Somando dá
.
Somando as duas parcelas obtemos
Agrupando termos com
e sem
:
Note que
, então
Passo 7
Agora substituímos
na equação diferencial. A equação aplicada a
dá
Isso deve igualar a parte do lado direito correspondente, ou seja
. Portanto
Comparando coeficientes de
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Assim
Passo 8
A solução particular total é soma das partes:
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinam a solução geral).