Exercício 3. Resolva as seguinte equações diferenciais
(b) y^{\prime \prime}+y=4 x+10 \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+y=4x+10\operatorname{sen}(x).
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é soma de um polinômio 4x e de uma função trigonométrica 10\operatorname{sen}(x).
O que se pede:
  • Encontrar a solução geral y(x) da equação (ou seja, a solução geral da homogênea somada a uma solução particular).

Passo 2

Primeiro passo técnico padrão: achar a solução geral da equação homogênea associada
y''+y=0.
Para isso usamos o polinômio característico. Assumindo y=e^{rx} leva a
r^{2}+1=0.
As raízes são r=\pm i. Para equações com raízes complexas conjugadas \pm i a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(x)+C_{2}\operatorname{sen}(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a família de soluções da homogênea).
Explicação curta: a ideia é que \cos(x) e \operatorname{sen}(x) aparecem naturalmente porque d^{2}/dx^{2} de \cos ou \operatorname{sen} volta a dar -\cos ou -\operatorname{sen}, satisfazendo y''+y=0.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} para a equação completa
y''+y=4x+10\operatorname{sen}(x).
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Motivo: o lado direito é soma de funções elementares (polinômio e seno) e os coeficientes da equação são constantes, então esse método é eficiente. A ideia é supor uma forma para y_{p} com constantes desconhecidas e determinar essas constantes substituindo na equação.
Como o lado direito é soma, vamos procurar y_{p}=y_{p1}+y_{p2}, onde y_{p1} resolve a parte do polinômio 4x e y_{p2} resolve a parte trigonométrica 10\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Parte polinomial: para o termo 4x (polinômio de grau 1) tentamos uma particular do mesmo tipo:
y_{p1}(x)=Ax+B,
onde A e B são constantes a determinar.
Calcular derivadas:
y'_{p1}=A,\qquad y''_{p1}=0.
Substituindo em \;y''+y=4x+\cdots\; (só para a parte polinomial):
0 + (Ax+B)=4x.
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante):
  • Coeficiente de x: A=4.
  • Termo constante: B=0.
Portanto
y_{p1}(x)=4x.

Passo 5

Parte trigonométrica: para o termo 10\operatorname{sen}(x) normalmente tentaríamos
y_{p2}(x)=C\cos(x)+D\operatorname{sen}(x).
Mas atenção: esse é um caso de ressonância porque \cos(x) e \operatorname{sen}(x) já fazem parte da solução homogênea y_{h}. Quando a forma tentada coincide com soluções da homogênea, devemos multiplicar a tentativa por x para obter uma forma linearmente independente. Logo usamos
y_{p2}(x)=x\bigl(C\cos(x)+D\operatorname{sen}(x)\bigr)=C x\cos(x)+D x\operatorname{sen}(x).
Aqui C e D são constantes a determinar.
Explicação intuitiva: multiplicar por x “escapa” da solução homogênea e gera termos que permitem balancear o lado direito.

Passo 6

Calcular derivadas de y_{p2} com cuidado (usar regra do produto).
Começando por
y_{p2}(x)=C x\cos x + D x\operatorname{sen} x.
Derivada primeira (aplicando produto termo a termo):
y'_{p2}=C(\cos x - x\operatorname{sen} x)+D(\operatorname{sen} x + x\cos x).
Derivada segunda (derivando cada parcela):
Calculemos termo a termo para evitar erros.
Derivando C(\cos x - x\operatorname{sen} x):
\frac{d}{dx}[C\cos x]= -C\operatorname{sen} x,\qquad \frac{d}{dx}[-C x\operatorname{sen} x]= -C(\operatorname{sen} x + x\cos x).
Logo a derivada total dessa parcela é -C\operatorname{sen} x - C\operatorname{sen} x - C x\cos x = -2C\operatorname{sen} x - C x\cos x.
Derivando D(\operatorname{sen} x + x\cos x):
\frac{d}{dx}[D\operatorname{sen} x]= D\cos x,\qquad \frac{d}{dx}[D x\cos x]= D(\cos x - x\operatorname{sen} x).
Somando dá D\cos x + D\cos x - D x\operatorname{sen} x = 2D\cos x - D x\operatorname{sen} x.
Somando as duas parcelas obtemos
y''_{p2} = (-2C\operatorname{sen} x - C x\cos x) + (2D\cos x - D x\operatorname{sen} x).
Agrupando termos com x e sem x:
y''_{p2} = -(C x\cos x + D x\operatorname{sen} x) + (2D\cos x - 2C\operatorname{sen} x).
Note que C x\cos x + D x\operatorname{sen} x = y_{p2}, então
y''_{p2} = -y_{p2} + (2D\cos x - 2C\operatorname{sen} x).

Passo 7

Agora substituímos y_{p2} na equação diferencial. A equação aplicada a y_{p2}
y''_{p2}+y_{p2}=(-y_{p2} + (2D\cos x - 2C\operatorname{sen} x))+y_{p2}=2D\cos x - 2C\operatorname{sen} x.
Isso deve igualar a parte do lado direito correspondente, ou seja 10\operatorname{sen} x. Portanto
2D\cos x - 2C\operatorname{sen} x = 10\operatorname{sen} x.
Comparando coeficientes de \cos x e \operatorname{sen} x:
  • Coeficiente de \cos x: 2D=0 \Rightarrow D=0.
  • Coeficiente de \operatorname{sen} x: -2C=10 \Rightarrow C=-5.
Assim
y_{p2}(x)=C x\cos x + D x\operatorname{sen} x = -5x\cos x + 0 = -5x\cos x.

Passo 8

A solução particular total é soma das partes:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=4x-5x\cos x.
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\operatorname{sen} x + 4x -5x\cos x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinam a solução geral).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\operatorname{sen} x + 4x -5x\cos x

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