Exercício 3. Resolva as seguinte equações diferenciais
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
Informações dadas e o que se pede:
- É uma equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio
. - Objetivo: determinar a solução geral
, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo, obtém-se a equação característica
Essa equação é um quadrático que pode ser fatorado:
logo a raiz é
com multiplicidade
.
Para uma raiz real
de multiplicidade
as soluções independentes são
até
. Aqui
, então a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau
, por método dos coeficientes indeterminados tentamos uma solução particular na forma de um polinômio de mesmo grau:
onde
são constantes a determinar.
Justificação curta: se o lado direito fosse
e
já fosse solução da homogênea (caso de ressonância), multiplicaríamos por
. Aqui o homogêneo gera funções do tipo
e
, que não são polinômios, portanto não há ressonância e a escolha acima é válida (não é preciso multiplicar por
).
Passo 4
Calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial e comparar coeficientes.
Substituição:
Desenvolvendo e agrupando termos por potência de
:
Esse resultado deve ser igual ao polinômio do lado direito:
Comparando coeficientes em cada potência de
obtém-se o sistema:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente constante:
.
Passo 6
Resolver o sistema para
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda:
Substituindo
e
na terceira:
logo
Portanto a solução particular é
Passo 7
Escrevendo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.