Exercício 3. Resolva as seguinte equações diferenciais
(a) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+4 y=4 x^{2}-6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 4x^{2}-6.
Informações dadas e o que se pede:
  • É uma equação diferencial linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é o polinômio \;4x^{2}-6.
  • Objetivo: determinar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo, obtém-se a equação característica
r^{2}+4r+4=0.
Essa equação é um quadrático que pode ser fatorado:
r^{2}+4r+4=(r+2)^{2}=0,
logo a raiz é r=-2 com multiplicidade 2.
Para uma raiz real r_{0} de multiplicidade m as soluções independentes são e^{r_{0}x}, x e^{r_{0}x}, x^{2}e^{r_{0}x},\dots até x^{m-1}e^{r_{0}x}. Aqui m=2, então a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=e^{-2x}\big(C_{1}+C_{2}x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. Como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 2, por método dos coeficientes indeterminados tentamos uma solução particular na forma de um polinômio de mesmo grau:
y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
onde A,B,C são constantes a determinar.
Justificação curta: se o lado direito fosse P(x)e^{\alpha x} e e^{\alpha x} já fosse solução da homogênea (caso de ressonância), multiplicaríamos por x^{s}. Aqui o homogêneo gera funções do tipo e^{-2x} e x e^{-2x}, que não são polinômios, portanto não há ressonância e a escolha acima é válida (não é preciso multiplicar por x).

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p}:
\frac{dy_{p}}{dx}=2Ax+B,
\frac{d^{2}y_{p}}{dx^{2}}=2A.

Passo 5

Substituir y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial e comparar coeficientes.
Substituição:
\frac{d^{2}y_{p}}{dx^{2}}+4\frac{dy_{p}}{dx}+4y_{p} =2A + 4(2Ax+B) + 4(Ax^{2}+Bx+C).
Desenvolvendo e agrupando termos por potência de x:
= 4Ax^{2} + (8A+4B)x + (2A+4B+4C).
Esse resultado deve ser igual ao polinômio do lado direito:
4x^{2}-6.
Comparando coeficientes em cada potência de x obtém-se o sistema:
  • Coeficiente de x^{2}: \;4A=4.
  • Coeficiente de x: \;8A+4B=0.
  • Coeficiente constante: \;2A+4B+4C=-6.

Passo 6

Resolver o sistema para A,B,C.
Da primeira equação:
4A=4 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Substituindo A=1 na segunda:
8\cdot1+4B=0 \quad\Rightarrow\quad 8+4B=0 \quad\Rightarrow\quad 4B=-8 \quad\Rightarrow\quad B=-2.
Substituindo A=1 e B=-2 na terceira:
2\cdot1 + 4(-2) + 4C = -6 \quad\Rightarrow\quad 2 -8 +4C = -6 \quad\Rightarrow\quad -6 +4C = -6,
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4C = 0 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=x^{2}-2x.

Passo 7

Escrevendo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) = e^{-2x}\big(C_{1}+C_{2}x\big) + x^{2}-2x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\big(C_{1}+C_{2}x\big) + x^{2}-2x

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