Calcule
, onde
é limitado pelos planos
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é limitada pelos planos
,
,
e pela superfície
.
Informações relevantes dadas:
- Há uma superfície paraboloide
. - Há o plano horizontal
. - Há os planos coordenados
e , que restringem e ao primeiro quadrante (ou seja, e ). - A integral é do valor da coordenada
sobre todo o volume .
O que é pedido: avaliar numericamente essa integral tripla.
Passo 2
Entender a forma de
e sua projeção no plano
.
- A interseção entre o paraboloide e o plano
é dada por
ou seja, um círculo de raio
centrado na origem no plano
.
- Como estamos também limitados por
e , a projeção de no plano é o quarto de disco
- Em termos de
, para cada ponto em a coordenada varia entre a face inferior e a face superior .
Portanto podemos descrever
como
Passo 3
Escolha de coordenadas e justificativa.
-
Como a projeção
é uma parte de disco circular, é natural usar coordenadas polares (cilíndricas no espaço): -
Em polares temos
e é o ângulo. Como e , varia no intervalo . -
O círculo
vira . -
Cuidado importante: o elemento de volume em coordenadas polares é
porque a área elementar no plano
é
e ao incluir
multiplicamos por
. (Intuição: pequenos retângulos em
têm área aproximada
.)
Passo 4
Expressar o integrando e montar a integral em coordenadas polares.
-
A variável
em polares é -
O integrando
vira -
Os limites são:
-
de a , -
de a , -
de (paraboloide) até (plano).
-
Logo a integral é
Passo 5
Integrar primeiro em
(é o mais direto).
- A integral em
de entre e é simplesmente multiplicar por a extensão em , pois a integranda não depende de :
- Assim a integral reduz-se a dupla integral sobre
e :
Passo 6
Separar as integrais e calcular cada uma.
- Note que a função se separa em produto de função de
e função de :
Pela propriedade de produtos podemos separar:
- Calcule a integral angular:
- Calcule a integral radial:
Primeiro expandir.
Calcule cada termo:
Multiplicando e subtraindo:
Colocando em denominador comum
:
- Como a integral angular vale
, o produto fica simplesmente .
Passo 7
Conclusão, com incentivo.
Pronto — chegamos ao resultado passo a passo. Foi só organizar a região, trocar para coordenadas polares porque o domínio tinha formato circular e integrar em ordem conveniente (aqui integramos primeiro em
, depois
e por fim
). Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar a mesma integral em coordenadas cartesianas (mais trabalhosa) só para comparar.