Calcule \iiint_{\omega} x d x d y d z, onde \omega é limitado pelos planos x=0, y=0, z=4 e z=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\omega} x\,dx\,dy\,dz,
onde a região \omega é limitada pelos planos x=0, y=0, z=4 e pela superfície z=x^{2}+y^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • Há uma superfície paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
  • Há o plano horizontal z=4.
  • Há os planos coordenados x=0 e y=0, que restringem x e y ao primeiro quadrante (ou seja, x\ge 0 e y\ge 0).
  • A integral é do valor da coordenada x sobre todo o volume \omega.
O que é pedido: avaliar numericamente essa integral tripla.

Passo 2

Entender a forma de \omega e sua projeção no plano xy.
  • A interseção entre o paraboloide e o plano z=4 é dada por
x^{2}+y^{2}=4,
ou seja, um círculo de raio 2 centrado na origem no plano xy.
  • Como estamos também limitados por x=0 e y=0, a projeção de \omega no plano xy é o quarto de disco
D=\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Em termos de z, para cada ponto (x,y) em D a coordenada z varia entre a face inferior z=x^{2}+y^{2} e a face superior z=4.
Portanto podemos descrever \omega como
\omega=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\; x^{2}+y^{2}\le z\le 4\}.

Passo 3

Escolha de coordenadas e justificativa.
  • Como a projeção D é uma parte de disco circular, é natural usar coordenadas polares (cilíndricas no espaço): \;x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z.
  • Em polares temos r\ge 0 e \theta é o ângulo. Como x\ge0 e y\ge0, \theta varia no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}].
  • O círculo x^{2}+y^{2}\le 4 vira 0\le r\le 2.
  • Cuidado importante: o elemento de volume em coordenadas polares é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
porque a área elementar no plano xy é r\,dr\,d\theta e ao incluir z multiplicamos por dz. (Intuição: pequenos retângulos em (r,\theta) têm área aproximada r\,dr\,d\theta.)

Passo 4

Expressar o integrando e montar a integral em coordenadas polares.
  • A variável x em polares é \;x=r\cos\theta.
  • O integrando x\,dV vira (r\cos\theta)\cdot (r\,dr\,d\theta\,dz)= r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta\,dz.
  • Os limites são:
    • \theta de 0 a \tfrac{\pi}{2},
    • r de 0 a 2,
    • z de r^{2} (paraboloide) até 4 (plano).
Logo a integral é
\iiint_{\omega} x\,dV = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{2}\!\int_{z=r^{2}}^{4} r^{2}\cos\theta \; dz\; dr\; d\theta.

Passo 5

Integrar primeiro em z (é o mais direto).
  • A integral em z de r^{2}\cos\theta entre z=r^{2} e z=4 é simplesmente multiplicar por a extensão em z, pois a integranda não depende de z:
\int_{z=r^{2}}^{4} r^{2}\cos\theta \; dz = r^{2}\cos\theta \cdot (4 - r^{2}).
  • Assim a integral reduz-se a dupla integral sobre r e \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{2} r^{2}\cos\theta\,(4 - r^{2})\; dr\; d\theta.

Passo 6

Separar as integrais e calcular cada uma.
  • Note que a função se separa em produto de função de \theta e função de r:
r^{2}\cos\theta\,(4 - r^{2}) = \cos\theta \cdot \big(r^{2}(4 - r^{2})\big).
Pela propriedade de produtos podemos separar:
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} \cos\theta\; r^{2}(4-r^{2})\; dr\; d\theta = \left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\; d\theta\right) \left(\int_{0}^{2} r^{2}(4-r^{2})\; dr\right).
  • Calcule a integral angular:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\; d\theta = \big[\sin\theta\big]_{0}^{\pi/2} = 1.
  • Calcule a integral radial:
    Primeiro expandir r^{2}(4-r^{2}) = 4r^{2}-r^{4}.
\int_{0}^{2} (4r^{2}-r^{4})\; dr = 4\int_{0}^{2} r^{2}\;dr - \int_{0}^{2} r^{4}\;dr.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{2} r^{2}\;dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3},
\int_{0}^{2} r^{4}\;dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}.
Multiplicando e subtraindo:
4\cdot \frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{32}{3} - \frac{32}{5}.
Colocando em denominador comum 15:
\frac{32}{3} - \frac{32}{5} = \frac{32\cdot 5 - 32\cdot 3}{15} = \frac{32(5-3)}{15} = \frac{64}{15}.
  • Como a integral angular vale 1, o produto fica simplesmente \frac{64}{15}.

Passo 7

Conclusão, com incentivo.
Pronto — chegamos ao resultado passo a passo. Foi só organizar a região, trocar para coordenadas polares porque o domínio tinha formato circular e integrar em ordem conveniente (aqui integramos primeiro em z, depois r e por fim \theta). Você conseguiu! Se quiser, posso mostrar a mesma integral em coordenadas cartesianas (mais trabalhosa) só para comparar.

Resposta

\dfrac{64}{15}

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