Encontre a solução particular da EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária não-homogênea
e pede para encontrarmos uma solução particular
dessa equação.
Informações relevantes que temos agora:
Informações relevantes que temos agora:
- O segundo membro é uma função arbitrária
(não foi especificada). - A equação é linear com coeficientes constantes.
- Precisamos apenas de uma solução particular (não dos coeficientes gerais da solução completa).
Passo 2
Observação estratégica (sem resolver ainda): o operador diferencial do lado esquerdo pode ser fatorado. Vamos escrever o operador
como
onde
significa derivada em relação a
, isto é,
. Essa fatoração sugere reduzir o problema de segunda ordem a dois problemas de primeira ordem encadeados. Fazer isso costuma ser o jeito mais direto quando o segundo membro
é genérico.
Passo 3
Reduzimos a ordem definindo uma função auxiliar
por
Então a equação original
fica
ou explicitamente
Agora vamos resolver essa equação de primeira ordem para
. Vou ensinar o método do fator integrante (integrating factor), que é básico para equações lineares de primeira ordem.
Passo 4
A equação para
é
Para uma equação da forma
, o fator integrante é
. Aqui
, então o fator integrante é
. Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
. Assim
Integramos ambos os lados de um ponto de referência
até
(uso
como variável de integração para separar das avaliações em
):
Isolando
,
Para construir uma solução particular
da equação original, podemos escolher a constante associada à solução homogênea de
igual a zero (essa constante corresponde a uma parte que, ao final, pertencerá à solução homogênea de
). Assim tomamos a solução particular de
Expliquei por que zerei a constante: um particular não precisa conter componentes da solução homogênea; essas ficam separadas na solução geral.
Passo 5
Agora resolvemos a segunda etapa: temos
, i.e.
Repetimos o método do fator integrante (mesmo
), multiplicando por
e integrando:
Integramos de
até
:
Para obter uma solução particular
escolhemos a constante associada a
nula (novamente para evitar incluir a parte homogênea). Assim
Passo 6
Substituímos
obtido no Passo 4 na expressão acima. Lembre que
Logo
Aqui usei duas integrais com variáveis diferentes (
e
) para ficar claro.
Passo 7
Agora simplificamos a dupla integral trocando a ordem de integração. O domínio de integração no plano
é a região triangular
Ao inverter a ordem,
varia de
até
e, para cada
fixo,
varia de
até
. Portanto
Substituindo de volta em
,
Passo 8
Finalmente simplificamos o fator
multiplicando o integrando:
Essa é uma expressão de convolução com o núcleo (Green)
para
. Se preferir a forma usando a função degrau de Heaviside
, a solução particular pode ser escrita como
mas a expressão anterior com integral de
até
é suficiente e prática em provas.