Encontre a solução particular da EDO:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=f(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária não-homogênea
y''+2y'+y=f(x)
e pede para encontrarmos uma solução particular y_p(x) dessa equação.
Informações relevantes que temos agora:
  • O segundo membro é uma função arbitrária f(x) (não foi especificada).
  • A equação é linear com coeficientes constantes.
  • Precisamos apenas de uma solução particular (não dos coeficientes gerais da solução completa).

Passo 2

Observação estratégica (sem resolver ainda): o operador diferencial do lado esquerdo pode ser fatorado. Vamos escrever o operador \mathcal{L} como
\mathcal{L} = D^2+2D+1 = (D+1)^2,
onde D significa derivada em relação a x, isto é, D y = y'. Essa fatoração sugere reduzir o problema de segunda ordem a dois problemas de primeira ordem encadeados. Fazer isso costuma ser o jeito mais direto quando o segundo membro f(x) é genérico.

Passo 3

Reduzimos a ordem definindo uma função auxiliar u(x) por
u(x) = (D+1)y(x) = y'(x)+y(x).
Então a equação original (D+1)^2 y = f(x) fica
(D+1)u(x) = f(x),
ou explicitamente
u'(x)+u(x)=f(x).
Agora vamos resolver essa equação de primeira ordem para u(x). Vou ensinar o método do fator integrante (integrating factor), que é básico para equações lineares de primeira ordem.

Passo 4

A equação para u é
u'+u=f(x).
Para uma equação da forma v'+p(x)v=q(x), o fator integrante é \exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Aqui p(x)=1, então o fator integrante é e^{\int 1\,dx}=e^{x}. Multiplicamos a equação por e^{x}:
e^{x}u'(x)+e^{x}u(x)=e^{x}f(x).
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}u(x), porque (e^{x}u)'\!=e^{x}u'+e^{x}u. Assim
\big(e^{x}u(x)\big)'=e^{x}f(x).
Integramos ambos os lados de um ponto de referência x_0 até t (uso t como variável de integração para separar das avaliações em x):
e^{t}u(t)-e^{x_0}u(x_0)=\int_{x_0}^{t} e^{s}f(s)\,ds.
Isolando u(t),
u(t)=e^{-t}\Big(e^{x_0}u(x_0)+\int_{x_0}^{t} e^{s}f(s)\,ds\Big).
Para construir uma solução particular y_p da equação original, podemos escolher a constante associada à solução homogênea de u igual a zero (essa constante corresponde a uma parte que, ao final, pertencerá à solução homogênea de y). Assim tomamos a solução particular de u
u_p(t)=e^{-t}\int_{x_0}^{t} e^{s}f(s)\,ds.
Expliquei por que zerei a constante: um particular não precisa conter componentes da solução homogênea; essas ficam separadas na solução geral.

Passo 5

Agora resolvemos a segunda etapa: temos (D+1)y = u_p, i.e.
y'(x)+y(x)=u_p(x).
Repetimos o método do fator integrante (mesmo p(x)=1), multiplicando por e^{x} e integrando:
\big(e^{x}y(x)\big)'=e^{x}u_p(x).
Integramos de x_0 até x:
e^{x}y(x)-e^{x_0}y(x_0)=\int_{x_0}^{x} e^{t}u_p(t)\,dt.
Para obter uma solução particular y_p escolhemos a constante associada a y nula (novamente para evitar incluir a parte homogênea). Assim
y_p(x)=e^{-x}\int_{x_0}^{x} e^{t}u_p(t)\,dt.

Passo 6

Substituímos u_p(t) obtido no Passo 4 na expressão acima. Lembre que
u_p(t)=e^{-t}\int_{x_0}^{t} e^{s}f(s)\,ds.
Logo
y_p(x)=e^{-x}\int_{x_0}^{x} e^{t}\bigg[e^{-t}\int_{x_0}^{t} e^{s}f(s)\,ds\bigg]dt = e^{-x}\int_{x_0}^{x}\int_{x_0}^{t} e^{s}f(s)\,ds\,dt.
Aqui usei duas integrais com variáveis diferentes ( s e t) para ficar claro.

Passo 7

Agora simplificamos a dupla integral trocando a ordem de integração. O domínio de integração no plano (s,t) é a região triangular
\{(s,t)\mid x_0\le s\le t\le x\}.
Ao inverter a ordem, s varia de x_0 até x e, para cada s fixo, t varia de s até x. Portanto
\int_{x_0}^{x}\int_{x_0}^{t} e^{s}f(s)\,ds\,dt = \int_{x_0}^{x}\left(\int_{t=s}^{t=x} dt\right) e^{s}f(s)\,ds = \int_{x_0}^{x} (x-s)\,e^{s}f(s)\,ds.
Substituindo de volta em y_p,
y_p(x)=e^{-x}\int_{x_0}^{x} (x-s)\,e^{s}f(s)\,ds.

Passo 8

Finalmente simplificamos o fator e^{-x} multiplicando o integrando:
y_p(x)=\int_{x_0}^{x} (x-s)\,e^{-(x-s)}\,f(s)\,ds.
Essa é uma expressão de convolução com o núcleo (Green) G(t)=t e^{-t} para t\ge 0. Se preferir a forma usando a função degrau de Heaviside H, a solução particular pode ser escrita como
y_p(x)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-s)e^{-(x-s)}H(x-s)\,f(s)\,ds,
mas a expressão anterior com integral de x_0 até x é suficiente e prática em provas.

Resposta

y_p(x)=\int_{x_0}^{x} (x-s)\,e^{-(x-s)}\,f(s)\,ds

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